Considere a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-x+y).
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
beta=(1,4,0),(3,-2,-2) é uma base para a Im(T).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x - y,;x + 3y,;-x + y)
e pede para verificar se
beta = (1,4,0),,(3,-2,-2)
é uma base de Im(T). Vamos primeiro encontrar Im(T) e sua dimensão, depois ver se os vetores de beta estão em Im(T) e se são l.i.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores canônicos de
Logo
Para ver que esses dois são l.i., resolvemos
o que leva ao sistema
Da terceira equação vem , logo . São l.i., então .

Passo 3

Verificamos se
Da terceira equação vem , , e de fato . Portanto .

Passo 4

Verificamos se
Da terceira equação , , e confirma . Logo .

Passo 5

Agora checamos se
Da terceira equação . São l.i. Como já vimos e temos vetores l.i.\ em , eles formam base de .

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados