Considere o operador linear L: R^3 R^3 dado por L(lx y z)=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3)(lx y z).
Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
(1,4,5) in Im(L).

Passo 1

Temos o operador linear dado pela matriz
O vetor pertence a se e somente se existir tal que . Para decidir isso, montamos e resolvemos o sistema linear correspondente.

Passo 2

O sistema é
x + z = 1, x + y + 2z = 4, 2x + y + 3z = 5
Da primeira equação vem ,x = 1 - z. Substituindo na segunda:
(1 - z) + y + 2z = 4 Longrightarrow y + z = 3 Longrightarrow y = 3 - z

Passo 3

Na terceira equação substituímos x=1-z e y=3-z:
2(1 - z) + (3 - z) + 3z = 2 - 2z + 3 - z + 3z = 5,
que é sempre verdadeira (não impõe restrição extra). Logo o sistema é consistente e há soluções para qualquer z. Assim (1,4,5) está em Im(L).

Resposta

V

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