Sabendo que v1, v2 e v3 são LI verificar a dependência ou independência linear dos seguintes conjuntos:
v1+a v2+b v3, v2+c v3, v3

Passo 1

O enunciado diz que v1,v2,v3 é um conjunto de vetores linearmente independentes e pede para verificar se o novo conjunto
,v1+a,v2+b,v3,;v2+c,v3,;v3
é linearmente independente ou dependente. O conteúdo aqui é teste de independência linear usando combinação linear e unicidade da solução trivial.

Passo 2

Para testar independência, suponha que exista uma combinação linear nula
alpha,(v1+a,v2+b,v3) ;+;beta,(v2+c,v3);+;gamma,v3 ;=;0

Passo 3

Agrupando termos em v1, v2 e v3 obtemos
alpha,v1 ;+;(alpha,a+beta),v2 ;+;(alpha,b+beta,c+gamma),v3 ;=;0

Passo 4

Como v1,v2,v3 é independente, os coeficientes devem ser todos zero:
alpha = 0, alpha,a+beta = 0, alpha,b+beta,c+gamma = 0
Da primeira equação alpha=0; daí a segunda dá beta=0; e por fim a terceira dá gamma=0.

Passo 5

O único conjunto (alpha,beta,gamma) que satisfaz a combinação nula é o trivial (0,0,0), logo não há dependência não-trivial.

Resposta

O conjunto ,v1+a,v2+b,v3,,v2+c,v3,,v3 é linearmente independente, para quaisquer escalares a,b,c.

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