Considere o operador linear F: M2(R) longrightarrow M2(R), definido por:
F((ll a & b c & d ))=(cc 2 a+b & 2 b 2 c & 3 d )
Considerando M2(R) com a base canônica, determine a matriz da transformação F com relação a base B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear F que transforma matrizes 2 times 2 em outras matrizes 2 times 2 . A gente precisa encontrar a matriz de transformação desse operador em relação à base canônica de M2(R) .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é um operador linear.
  • O que é a base canônica para matrizes 2 times 2 .
  • Como construir a matriz de transformação aplicando F nos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base canônica de M2(R) . Ela é formada pelas seguintes matrizes:
E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1
Essas matrizes servem como “blocos de construção” para qualquer matriz 2 times 2 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador F em cada uma dessas matrizes da base. Vamos começar com E11 :
F(E11) = F( 1 & 0 0 & 0 ) = 2 cdot 1 + 0 & 2 cdot 0 2 cdot 0 & 3 cdot 0 = 2 & 0 0 & 0

Passo 4

Em seguida, aplicamos F em E12 :
F(E12) = F( 0 & 1 0 & 0 ) = 2 cdot 0 + 1 & 2 cdot 1 2 cdot 0 & 3 cdot 0 = 1 & 2 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos ver F(E21) :
F(E21) = F( 0 & 0 1 & 0 ) = 2 cdot 0 + 0 & 2 cdot 0 2 cdot 1 & 3 cdot 0 = 0 & 0 2 & 0

Passo 6

Finalmente, aplicamos F em E22 :
F(E22) = F( 0 & 0 0 & 1 ) = 2 cdot 0 + 0 & 2 cdot 0 2 cdot 0 & 3 cdot 1 = 0 & 0 0 & 3

Passo 7

Agora que temos F aplicado em cada matriz da base, vamos expressar cada resultado como um vetor coluna usando a base canônica. A ordem vai ser E11, E12, E21, E22 .
Para F(E11) = 2 & 0 0 & 0 , o vetor coluna é 2 0 0 0 .
Para F(E12) = 1 & 2 0 & 0 , o vetor coluna é 1 2 0 0 .
Para F(E21) = 0 & 0 2 & 0 , o vetor coluna é 0 0 2 0 .
Para F(E22) = 0 & 0 0 & 3 , o vetor coluna é 0 0 0 3 .

Passo 8

Com esses vetores coluna, a matriz de transformação [F]B fica formada colocando esses vetores como colunas, na ordem dos vetores base:
[F]B = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz da transformação F em relação à base canônica B é:
[F]B = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3

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