Dados U e W subespaços do espaço vetorial V determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U cap W.
(iv) uma base e a dimensão de U+W.
U=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0, W=(x, y, 0) ; x, y in R e V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos base e dimensão de quatro subespaços derivados de U e W em V=R^3, onde
U=(x,y,z)inR^3mid x+y+z=0 e
W=(x,y,0)mid x,yinR.
O conteúdo é espaço vetorial, subespaços, interseção, soma, base e dimensão.

Passo 2

Para U, impomos x+y+z=0. Podemos escrever
(x,y,z)=(s,t,-s-t),
com parâmetros s,tinR. Logo
(x,y,z)=s,(1,0,-1)+t,(0,1,-1)
Portanto uma base de U é (1,0,-1),(0,1,-1) e
dim(U)=2.

Passo 3

Para W, temos todos os vetores da forma (x,y,0) com x,y livres. Logo
(x,y,0)=x,(1,0,0)+y,(0,1,0)
Uma base natural de W é (1,0,0),(0,1,0) e
dim(W)=2.

Passo 4

O subespaço Ucap W consiste dos vetores que estão em W (ou seja têm z=0) e satisfazem x+y+z=0. Como z=0, a equação vira x+y=0, dando
(x,y,0)=(s,-s,0)=s,(1,-1,0)
Assim uma base de Ucap W é (1,-1,0) e
dim(Ucap W)=1.

Passo 5

O subespaço U+W é o span conjunto de duas subespaços planos cujos normais (1,1,1) e (0,0,1) são independentes, de modo que U+W=R^3. Logo uma base pode ser, por exemplo,
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e
dim(U+W)=3.

Resposta

(i) Base de U: (1,0,-1),(0,1,-1), dim(U)=2.
(ii) Base de W: (1,0,0),(0,1,0), dim(W)=2.
(iii) Base de Ucap W: (1,-1,0), dim(Ucap W)=1.
(iv) Base de U+W: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), dim(U+W)=3.

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