Dados
e
subespaços do espaço vetorial
determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de
.
(ii) uma base e a dimensão de
.
(iii) uma base e a dimensão de
.
(iv) uma base e a dimensão de
.
e
(i) uma base e a dimensão de
(ii) uma base e a dimensão de
(iii) uma base e a dimensão de
(iv) uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos base e dimensão de quatro subespaços derivados de
e
em
, onde
e
.
O conteúdo é espaço vetorial, subespaços, interseção, soma, base e dimensão.
O conteúdo é espaço vetorial, subespaços, interseção, soma, base e dimensão.
Passo 2
Para
, impomos
. Podemos escrever
com parâmetros
. Logo
Portanto uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
, temos todos os vetores da forma
com
livres. Logo
Uma base natural de
é
e
.
Passo 4
O subespaço
consiste dos vetores que estão em
(ou seja têm
) e satisfazem
. Como
, a equação vira
, dando
Assim uma base de
é
e
.
Passo 5
O subespaço
é o span conjunto de duas subespaços planos cujos normais
e
são independentes, de modo que
. Logo uma base pode ser, por exemplo,
e
.
Resposta
(i) Base de
:
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) Base de :
,
.
(iv) Base de :
,
.
(ii) Base de
(iii) Base de
(iv) Base de