Qual dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de M2 times 2(R)
W=(lla & b c & d) in M2 times 2(R): a=d e b=c;

Passo 1

O enunciado define
W = a & b c & din M2times2(R) : a=d e b=c
Queremos verificar se W é um subespaço vetorial de M2times2(R). Para isso usamos a definição: um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V é subespaço se for fechado para soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o zero de M2times2(R), isto é
0 = 0 & 0 0 & 0,
satisfaz as condições a=d e b=c. Logo 0in W e Wneqvarnothing.

Passo 3

Tomemos duas matrizes genéricas em W:
X=a & b b & a e
Y=a' & b' b' & a'
Então a soma é
X+Y =a+a' & b+b' b+b' & a+a',
onde claramente o elemento ( 1,1) coincide com o ( 2,2) e o ( 1,2) coincide com o ( 2,1); logo X+Yin W.
Para um escalar lambdainR,
lambda X =lambda a & lambda b lambda b & lambda a,
que também satisfaz as mesmas igualdades de entradas, de modo que lambda Xin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de M2times2(R).

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