Considere os operadores lineares do R^2 :
F(x, y)=(x+2 y, y) e G(x, y)=(-x,-y)
Determinar as matrizes dos operadores lineares: F+G, 2 F, F circ G e F^2, com relação à base canônica B=(1,0),(0,1) do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre operações com operadores lineares no espaço R^2. Temos dois operadores, F e G , definidos por:
F(x, y) = (x + 2y, y) e G(x, y) = (-x, -y)
Nos pedem para encontrar as matrizes dos operadores F + G , 2F , F circ G e F^2 em relação à base canônica B = (1, 0), (0, 1) . Para isso, vamos lembrar como representar operadores lineares por matrizes e como realizar operações com essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as matrizes de F e G na base canônica. Para isso, aplicamos os operadores aos vetores da base B .
Aplicando F a (1, 0) :
F(1, 0) = (1 + 2 times 0, 0) = (1, 0)
E a (0, 1) :
F(0, 1) = (0 + 2 times 1, 1) = (2, 1)
Então, a matriz de F é formada por essas imagens como colunas:
[F]B = 1 & 2 0 & 1
Fazendo o mesmo para G :
Aplicando G a (1, 0) :
G(1, 0) = (-1, 0)
E a (0, 1) :
G(0, 1) = (0, -1)
Então, a matriz de G é:
[G]B = -1 & 0 0 & -1

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz de F + G . A soma de dois operadores lineares corresponde à soma das suas matrizes. Então, somamos [F]B e [G]B :
[F + G]B = [F]B + [G]B = 1 & 2 0 & 1 + -1 & 0 0 & -1 = 0 & 2 0 & 0

Passo 4

Para encontrar a matriz de 2F , multiplicamos cada elemento da matriz de F por 2:
[2F]B = 2 times [F]B = 2 times 1 & 2 0 & 1 = 2 & 4 0 & 2

Passo 5

Vamos calcular a matriz de F circ G , que significa primeiro aplicar G e depois F . Isso corresponde à multiplicação das matrizes [F]B e [G]B na ordem [F]B times [G]B :
[F circ G]B = [F]B times [G]B = 1 & 2 0 & 1 times -1 & 0 0 & -1 = (1)(-1) + (2)(0) & (1)(0) + (2)(-1) (0)(-1) + (1)(0) & (0)(0) + (1)(-1) = -1 & -2 0 & -1

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a matriz de F^2 , que é F composta com F (ou seja, aplicar F duas vezes). Isso corresponde à multiplicação da matriz [F]B por ela mesma:
[F^2]B = [F]B times [F]B = 1 & 2 0 & 1 times 1 & 2 0 & 1 = (1)(1) + (2)(0) & (1)(2) + (2)(1) (0)(1) + (1)(0) & (0)(2) + (1)(1) = 1 & 4 0 & 1

Resposta

As matrizes dos operadores lineares em relação à base canônica B são:
[F + G]B &= 0 & 2 0 & 0 [2F]B &= 2 & 4 0 & 2 [F circ G]B &= -1 & -2 0 & -1 [F^2]B &= 1 & 4 0 & 1

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