Determinar as matrizes dos operadores lineares: e , com relação à base canônica do .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre operações com operadores lineares no espaço . Temos dois operadores, e , definidos por:
Nos pedem para encontrar as matrizes dos operadores , , e em relação à base canônica. Para isso, vamos lembrar como representar operadores lineares por matrizes e como realizar operações com essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as matrizes de e na base canônica. Para isso, aplicamos os operadores aos vetores da base .
Aplicando a :
E a :
Então, a matriz de é formada por essas imagens como colunas:
Fazendo o mesmo para G :
Aplicando G a (1, 0) :
G(1, 0) = (-1, 0)
E a (0, 1) :
G(0, 1) = (0, -1)
Então, a matriz de G é:
[G]B = -1 & 0 0 & -1
Passo 3
Agora, vamos calcular a matriz de F + G . A soma de dois operadores lineares corresponde à soma das suas matrizes. Então, somamos [F]B e [G]B :
Vamos calcular a matriz de F circ G , que significa primeiro aplicar G e depois F . Isso corresponde à multiplicação das matrizes [F]B e [G]B na ordem [F]B times [G]B :
Por fim, vamos encontrar a matriz de F^2 , que é F composta com F (ou seja, aplicar F duas vezes). Isso corresponde à multiplicação da matriz [F]B por ela mesma: