Seja
uma transformação linear, dada por:
Determine a matriz de
com relação às bases
e
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma transformação linear
que leva polinômios de grau até 2 (
) para polinômios de grau até 3 (
). A transformação é definida por:
O que queremos fazer é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases:
e
Para isso, vamos seguir alguns passos simples para construir essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como cada vetor da base de partida (no caso,
) é transformado e então expressar o resultado em termos da base de chegada (no caso,
).
Ou seja, para cada polinômio em
, vamos aplicar
e depois escrever o polinômio resultante como uma combinação linear dos vetores em
.
Passo 3
Vamos começar aplicando
ao primeiro polinômio da base
, que é
:
Agora, precisamos expressar
em termos da base
. Olhando para
, vemos que:
Então, os coeficientes são
. Essa será a primeira coluna da nossa matriz.
Passo 4
Agora, vamos aplicar
ao segundo polinômio da base
, que é
:
Expressando
em termos de
:
Os coeficientes são
. Essa será a segunda coluna da nossa matriz.
Passo 5
Finalmente, vamos aplicar
ao terceiro polinômio da base
, que é
:
Primeiro, vamos expandir
:
Agora, multiplicamos por
:
Expressando
em termos de
:
Os coeficientes são
. Essa será a terceira coluna da nossa matriz.
Resposta
A matriz de
com relação às bases
e
é: