Seja F: P2(R) longrightarrow P3(R) uma transformação linear, dada por:
(F(p))(x)=(x+1) p(x), forall p in P2(R)
Determine a matriz de F com relação às bases
B=1,(x-1),(x-1)^2 de P2(R)
e
C=1, x, x^2, x^3 de P3(R)

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma transformação linear F que leva polinômios de grau até 2 ( P2(R) ) para polinômios de grau até 3 ( P3(R) ). A transformação é definida por:
(F(p))(x) = (x+1) cdot p(x)
O que queremos fazer é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases:
B = 1,, (x-1),, (x-1)^2 para P2(R)
e
C = 1,, x,, x^2,, x^3 para P3(R)
Para isso, vamos seguir alguns passos simples para construir essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como cada vetor da base de partida (no caso, B ) é transformado e então expressar o resultado em termos da base de chegada (no caso, C ).
Ou seja, para cada polinômio em B , vamos aplicar F e depois escrever o polinômio resultante como uma combinação linear dos vetores em C .

Passo 3

Vamos começar aplicando F ao primeiro polinômio da base B , que é 1 :
F(1)(x) = (x + 1) cdot 1 = x + 1
Agora, precisamos expressar x + 1 em termos da base C . Olhando para C = 1, x, x^2, x^3 , vemos que:
x + 1 = 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 + 0 cdot x^3
Então, os coeficientes são [1, 1, 0, 0] . Essa será a primeira coluna da nossa matriz.

Passo 4

Agora, vamos aplicar F ao segundo polinômio da base B , que é (x - 1) :
F(x - 1)(x) = (x + 1) cdot (x - 1) = x^2 - 1
Expressando x^2 - 1 em termos de C :
x^2 - 1 = (-1) cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2 + 0 cdot x^3
Os coeficientes são [-1, 0, 1, 0] . Essa será a segunda coluna da nossa matriz.

Passo 5

Finalmente, vamos aplicar F ao terceiro polinômio da base B , que é (x - 1)^2 :
F((x - 1)^2)(x) = (x + 1) cdot (x - 1)^2
Primeiro, vamos expandir (x - 1)^2 :
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
Agora, multiplicamos por (x + 1) :
(x + 1)(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 = x^3 - x^2 - x + 1
Expressando x^3 - x^2 - x + 1 em termos de C :
x^3 - x^2 - x + 1 = 1 cdot 1 + (-1) cdot x + (-1) cdot x^2 + 1 cdot x^3
Os coeficientes são [1, -1, -1, 1] . Essa será a terceira coluna da nossa matriz.

Resposta

A matriz de F com relação às bases B e C é:
1 & -1 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

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