Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da:
medida A da superfície da esfera.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cubo inscrito numa esfera cuja área da superfície vale A. O conteúdo é geometria espacial: vamos usar a fórmula da área de uma esfera para achar o raio R em função de A, depois relacionar R com a aresta s do cubo inscrito e, por fim, calcular o volume V=s^3.

Passo 2

A área da superfície de uma esfera de raio R é
A = 4pi R^2
Daí o raio em função de A é
R = raizA4pi

Passo 3

Num cubo inscrito, a diagonal do cubo coincide com o diâmetro da esfera. Como a diagonal do cubo de aresta s é sraiz3 e o diâmetro da esfera é 2R, temos
sraiz3 = 2R Longrightarrow s = 2Rraiz3

Passo 4

O volume do cubo é
V = s^3 = l(2Rraiz3r)^3 = 8R^33raiz3

Passo 5

Substituindo R = l(A/(4pi)r)^1/2 em R^3 e em V, obtemos
R^3 = l(A4pir)^3/2,
V = 83raiz3;l(A4pir)^3/2 = 83raiz3;A^3/2(4pi)^3/2 = A^3/23raiz3,pi^3/2

Resposta

V = A^3/23raiz3,pi^3/2

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