Considere o operador linear
definido por
.
Determine os autovalores reais de
(caso existam) e a multiplicidade algébrica de cada autovalor.
Determine os autovalores reais de
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
definido por
e pede para determinar os autovalores reais de
e a multiplicidade algébrica de cada um. O que precisamos é:
- Encontrar a matriz de
na base canônica. - Calcular o polinômio característico
. - Obter as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébricas.
Passo 2
A matriz de
em relação à base canônica
é obtida aplicando
em cada vetor da base:
Logo,
Passo 3
Para achar o polinômio característico usamos
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Passo 4
As raízes do polinômio
(1-lambda)^3=0 são
lambda=1 , e essa raiz tem multiplicidade algébrica 3.
Resposta
O único autovalor real é
lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 3.