Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+y, y, z).
Determine os autovalores reais de T (caso existam) e a multiplicidade algébrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x+y,;y,;z),
e pede para determinar os autovalores reais de T e a multiplicidade algébrica de cada um. O que precisamos é:
  1. Encontrar a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico det(A - lambda I).
  3. Obter as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébricas.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica e1,e2,e3 é obtida aplicando T em cada vetor da base:
T(1,0,0) = (1,0,0), T(0,1,0) = (1,1,0), T(0,0,1) = (0,0,1)
Logo,
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar o polinômio característico usamos
det(A - lambda I) = det! 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) = (1-lambda),(1-lambda),(1-lambda) = (1-lambda)^3

Passo 4

As raízes do polinômio (1-lambda)^3=0 são lambda=1, e essa raiz tem multiplicidade algébrica 3.

Resposta

O único autovalor real é lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 3.

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