O operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x, x+y-2 z, y-z) é diagonalizável (justifique)? Em caso afirmativo escreva a base B que diagonaliza o operador T e [T]B.

Passo 1

O operador TcolonR^3toR^3 é dado por
T(x,y,z)=(x,;x+y-2z,;y-z)
Precisamos verificar se existe uma base de R^3 formada por vetores próprios de T. Para isso vamos:
(1) obter a matriz de T na base canônica;
(2) calcular o polinômio característico e os autovalores;
(3) determinar os espaços próprios e comparar as dimensões algébricas e geométricas.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda = (1-lambda)l[(1-lambda)(-1-lambda)+2r]
Como
(1-lambda)(-1-lambda)+2 = -(1-lambda^2)+2 = lambda^2+1,
segue
p(lambda)=(1-lambda)(lambda^2+1)

Passo 3

Os autovalores são
Em
logo
com (\dim E_{1}=1].

Passo 4

Sobre R só há um autovalor real ( lambda=1) cujo espaço próprio tem dimensão 1, insuficiente para formar uma base de R^3. Portanto não existem três vetores próprios lineares independentes em R^3.

Resposta

O operador T não é diagonalizável sobre R porque falta dimensão no espaço próprio associado a lambda=1.

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