Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+y, y, z).
O operador T é diagonalizável (justifique)? Em caso afirmativo escreva a base B que diagonaliza o operador T e[T]B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (x+y,;y,;z)
Queremos saber se T é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar a matriz de T na base canônica, calcular seus autovalores (polinômio característico) e examinar a dimensão de cada autespaço.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A = [T]E = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det! 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = (1-lambda)^3

Passo 3

Temos um único autovalor de multiplicidade algébrica 3. Agora calculamos o autespaço correspondente:
implica sem restrição em . Logo
é de dimensão 2.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=1 é 2, menor que sua multiplicidade algébrica 3, o operador T não é diagonalizável (um operador em dimensão 3 só é diagonalizável se a soma das dimensões dos autespaços for 3).

Resposta

O operador T não é diagonalizável, pois o único autovalor lambda=1 tem multiplicidade geométrica 2, inferior à multiplicidade algébrica 3.

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