Considere o operador linear definido por .
O operador é diagonalizável (justifique)? Em caso afirmativo escreva a base que diagonaliza o operador .
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
Queremos saber se é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar a matriz de na base canônica, calcular seus autovalores (polinômio característico) e examinar a dimensão de cada autespaço.
Temos um único autovalor de multiplicidade algébrica 3. Agora calculamos o autespaço correspondente:
implica sem restrição em . Logo
é de dimensão 2.
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=1 é 2, menor que sua multiplicidade algébrica 3, o operador T não é diagonalizável (um operador em dimensão 3 só é diagonalizável se a soma das dimensões dos autespaços for 3).
Resposta
O operador T não é diagonalizável, pois o único autovalor lambda=1 tem multiplicidade geométrica 2, inferior à multiplicidade algébrica 3.