Questão 26: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
e) W é o conjunto de polinômios de grau até 4 tal que p(0)=0.
Sim

Passo 1

O enunciado define
W=pin P4mid p(0)=0,
onde P4 é o espaço vetorial dos polinômios reais de grau no máximo 4. Para mostrar que W é subespaço vetorial, vamos verificar:
  1. Wneqvarnothing (existe vetor zero);
  2. fechado sob soma;
  3. fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero p(x)=0 pertence a W, pois
p(0)=0
Logo W não é vazio e contém o vetor zero de P4.

Passo 3

Sejam p,qinW. Então por hipótese
p(0)=0 e q(0)=0
Logo
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
implicando p+qinW. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Seja alphainR e pinW. Como p(0)=0, temos
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alphacdot0=0,
portanto alpha pinW. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de P4.

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