Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z).
Determine os autovetores de T (caso existam) e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x-2z,;0,;-2x+4z),
e queremos encontrar todos os autovalores, seus autovetores correspondentes e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de T na base canônica. Observando
T(1,0,0)=(1,0,-2),
T(0,1,0)=(0,0,0),
T(0,0,1)=(-2,0,4),
a matriz associada é
A = 1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 4
Para achar o polinômio característico calculamos
det(A - lambda I) =det 1-lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4-lambda =(-lambda)l[(1-lambda)(4-lambda)-(-2)(-2)r]
Dentro do colchete:
(1-lambda)(4-lambda)-4 =l(lambda^2-5lambda+4r)-4 =lambda(lambda-5)
Logo
det(A-lambda I) =-lambdacdotl[lambda(lambda-5)r] =-lambda^2(lambda-5),
e o polinômio característico é lambda^2(lambda-5)=0. Assim os autovalores são
lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=5 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio de , ou seja, . Resolvendo
vem as equações
e , que ambas equivalem a . A coordenada é livre. Portanto
e o espaço próprio de é bidimensional. A multiplicidade geométrica de é 2.

Passo 4

Para resolvemos :
As equações são
e , que ambas dão , e ainda . Logo
O espaço próprio de tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de é 1.

Resposta

Os autovalores e seus autovetores (geradores) e multiplicidades geométricas são:
lambda=0: autovetores gerados por ,(0,1,0) e (2,0,1), multiplicidade geométrica 2.
lambda=5: autovetor gerado por (1,0,-2), multiplicidade geométrica 1.

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