Determine os autovalores de e os respectivos autovetores associados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear definido por
Isso significa que precisamos identificar quais números (autovalores) e quais vetores (autovetores) satisfazem a equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que são autovalores e autovetores. Para um operador linear , um autovalor é um número escalar tal que existe um vetor não nulo que, quando é aplicado a , o resultado é o próprio vetor multiplicado por . Ou seja,
Esse vetor é o autovetor associado a .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos montar a matriz do operador linear . A matriz de é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base canônica. Então, temos:
Agora, para encontrar os autovalores, vamos resolver a equação característica, que é dada por:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 6 sobre os divisores de 1, ou seja, lambda = 1, 2, 3, 6 .
Testando lambda = 1 :
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Portanto, lambda = 1 é uma raiz. Dividindo o polinômio por (lambda - 1) encontramos: