Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x-y, 2 x+3 y+2 z, x+y+2 z)
Determine os autovalores de T e os respectivos autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z) = (x - y, 2x + 3y + 2z, x + y + 2z)
Isso significa que precisamos identificar quais números lambda (autovalores) e quais vetores v (autovetores) satisfazem a equação T(v) = lambda v . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são autovalores e autovetores. Para um operador linear T , um autovalor lambda é um número escalar tal que existe um vetor não nulo v que, quando T é aplicado a v , o resultado é o próprio vetor v multiplicado por lambda . Ou seja,
T(v) = lambda v
Esse vetor v é o autovetor associado a lambda .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos montar a matriz do operador linear T . A matriz de T é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base canônica. Então, temos:
T = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Agora, para encontrar os autovalores, vamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(T - lambda I) = 0,
onde I é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Vamos calcular T - lambda I :
T - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - (-1)[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 0
Simplificando:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] + [2(2 - lambda) - 2]
Calculando os produtos:
(3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 5lambda + lambda^2,
então:
(1 - lambda)(6 - 5lambda + lambda^2 - 2) + (4 - 2lambda - 2) = (1 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + (2 - 2lambda)
Multiplicando:
4(1 - lambda) - 5lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2 - 2lambda = 4 - 4lambda - 5lambda + 5lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda
Somando os termos semelhantes:
- lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Então, a equação característica é:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0

Passo 5

Agora precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 6 sobre os divisores de 1, ou seja, lambda = 1, 2, 3, 6 .
Testando lambda = 1 :
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Portanto, lambda = 1 é uma raiz. Dividindo o polinômio por (lambda - 1) encontramos:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Agora, resolvemos a segunda parte:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12,
resultando em lambda = 3 e lambda = 2 .
Então, os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 2 e lambda3 = 3 .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada [\lambda), resolvemos o sistema .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, (y = 0]. Substituindo na segunda:
A terceira equação também confirma essa relação. Então, podemos escolher [z = t), então e . O autovetor é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equações, (x = -y]. Substituindo na segunda:
Então, [x = -2z). Escolhendo , temos e . O autovetor é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação:
o que confirma as relações. Escolhendo , temos e . O autovetor é:

Resposta

Os autovalores de T são:
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3
Os autovetores correspondentes são:
v1 = -1 0 1 , v2 = -2 2 1 , v3 = -1 2 1

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