Seja uma transformação linear cuja matriz associada é:
onde A=-x+2, x-1 é uma base para P1(R) e B=(2,-1,0),(0,-1,1),(0,3,2) é uma base de R^3.
A transformação T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear T: P1(R) R^3 representada por uma matriz específica. O exercício quer saber se essa transformação é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em R^3 tem uma imagem em P1(R) através de T . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases, e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação T: V W é sobrejetora se, para todo vetor w em W , existe pelo menos um vetor v em V tal que T(v) = w . Em outras palavras, a imagem de T cobre todo o espaço de chegada W .
Passo 3
Agora, vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço P1(R) é o conjunto de polinômios de grau no máximo 1, que é um espaço vetorial de dimensão 2. Já R^3 é um espaço vetorial de dimensão 3. Sabemos que a dimensão da imagem de T (chamada de posto de T ) não pode ser maior que a dimensão do espaço de partida. Portanto, o posto de T é no máximo 2.
Passo 4
Para uma transformação ser sobrejetora, o posto de T deve ser igual à dimensão do espaço de chegada. No nosso caso, queremos que posto(T) = 3 . Mas, como vimos no passo anterior, posto(T) <= 2 . Isso significa que não é possível que T seja sobrejetora, já que o posto máximo de T é menor que a dimensão de R^3 .
Passo 5
Podemos também verificar isso observando a matriz associada à transformação T . A matriz dada é uma matriz 3x2:
[T]B^A = 1 & 3 2 & 1 -1 & 2
O posto dessa matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Mesmo que ambas as colunas sejam independentes, o posto será no máximo 2, confirmando que a imagem de T é um subespaço de dimensão 2 em R^3 , e assim, T não pode ser sobrejetora.
Resposta
Não, a transformação T não é sobrejetora porque o posto da sua matriz é menor que a dimensão de R^3 , impossibilitando que a imagem cubra todo o espaço de chegada.