Seja T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y).
Encontre a expressão que define Ker(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear ,T:R^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(2x+y-z,;x+2y)
Precisamos encontrar Ker(T) e Im(T). Para isso, vamos primeiro resolver o sistema homogêneo para o núcleo e depois calcular as imagens dos vetores da base canônica para a imagem.

Passo 2

Para achar
o que dá o sistema
Da segunda equação segue (x=-2y]. Substituindo na primeira:

Logo todo vetor do núcleo é

então

Passo 3

Para achar Im(T), calculamos as imagens da base canônica:
T(1,0,0)=(2,1)
T(0,1,0)=(1,2)
T(0,0,1)=(-1,0)
Observamos que (-1,0) é combinação linear de (2,1) e (1,2), pois
(-1,0)=tfrac13,(1,2)-tfrac23,(2,1)
Como (2,1) e (1,2) são independentes em R^2, elas formam uma base de R^2. Portanto
Im(T)=span(2,1),(1,2)=R^2

Resposta

Ker(T)=t(-2,1,-3)mid tinR
Im(T)=R^2

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