Seja T: P1(R) R^3 uma transformação linear cuja matriz associada é:
[T]B^A[rr 1 & 3 2 & 1 -1 & 2 ]
onde A=-x+2, x-1 é uma base para P1(R) e B=(2,-1,0),(0,-1,1),(0,3,2) é uma base de R^3.
Encontre o Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear T que vai de P1(R) para R^3 . A gente precisa encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os polinômios em P1(R) que são mapeados para o vetor zero em R^3 . Para isso, vamos usar matrizes associadas a transformações lineares, bases e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases que a gente tem. A base A = -x + 2, x - 1 é para P1(R) , que são polinômios de grau no máximo 1. A base B = (2, -1, 0), (0, -1, 1), (0, 3, 2) é para R^3 , que são vetores em três dimensões.

Passo 3

A matriz associada à transformação T é dada por:
[T]B^A = 1 & 3 2 & 1 -1 & 2
Isso significa que, se tivermos um polinômio p(x) representado na base A por um vetor coluna a b , então T(p(x)) em coordenadas da base B será:
[T]B^A a b = 1a + 3b 2a + 1b -1a + 2b

Passo 4

Queremos encontrar o núcleo de T , ou seja, todos os vetores a b que satisfazem:
1a + 3b 2a + 1b -1a + 2b = 0 0 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. a + 3b = 0
  2. 2a + b = 0
  3. -a + 2b = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
a + 3b = 0 a = -3b
Agora, substituímos a = -3b na segunda equação:
2(-3b) + b = 0 -6b + b = -5b = 0 b = 0
Com b = 0 , substituímos de volta na expressão para a :
a = -3(0) = 0

Passo 6

Agora, substituímos a = 0 e b = 0 na terceira equação para conferir:
-0 + 2(0) = 0 , que é verdadeira.

Resposta

O núcleo de T é apenas o vetor zero. Ou seja,
Ker(T) = 0

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