Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um operador linear é diagonalizável. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e diagonalização. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de e verificar se conseguimos uma base de autovetores que gere todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos associar o operador a uma matriz. O operador dado é:
A matriz correspondente a será:
Aqui, cada coluna da matriz representa a imagem de cada vetor da base canônica sob T .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda
Ainda simplificando, percebemos que os autovalores são lambda = 1 (multiplicidade 2) e lambda = 4 .
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
A - I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1
Reduzindo o sistema:
Da primeira equação: -y = 0 ⇒ y = 0 .
Da segunda equação: 2x + 2y + 2z = 0 ⇒ 2x + 2z = 0 ⇒ x = -z .
Então, os autovetores são da forma (-z, 0, z) = z(-1, 0, 1) . Ou seja, temos uma direção de autovetor: (-1, 0, 1) .
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I)v = 0 :
A - 4I = -3 & -1 & 0 2 & -1 & 2 1 & 1 & -2
Reduzindo o sistema:
Da primeira equação: -3x - y = 0 ⇒ y = -3x .
Da segunda equação: 2x - y + 2z = 0 ⇒ Substituindo y :
2x - (-3x) + 2z = 5x + 2z = 0 Rightarrow z = -52x
Então, os autovetores são da forma (x, -3x, -52x) = x(1, -3, -52) . Simplificando, temos a direção (2, -6, -5) .
Passo 5
Agora, vamos verificar se conseguimos três autovetores linearmente independentes (já que a dimensão do espaço é 3). Observamos que:
Para lambda = 1 , temos apenas um autovetor independente: (-1, 0, 1) .
Para lambda = 4 , temos outro autovetor independente: (2, -6, -5) .
O autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2, mas apenas uma direção independente de autovetor, ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, que é menor que a algébrica.
Resposta
Não, o operador T não é diagonalizável, pois não possui uma base completa de autovetores.