Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x-y, 2 x+3 y+2 z, x+y+2 z)
T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um operador linear T: R^3 R^3 é diagonalizável. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e diagonalização. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de T e verificar se conseguimos uma base de autovetores que gere todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos associar o operador T a uma matriz. O operador dado é:
T(x, y, z) = (x - y, , 2x + 3y + 2z, , x + y + 2z)
A matriz correspondente a T será:
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Aqui, cada coluna da matriz representa a imagem de cada vetor da base canônica sob T .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1-lambda)[(3-lambda)(2-lambda) - 2 cdot 1] + 1[2(2-lambda) - 2 cdot 1]
Simplificando:
= (1-lambda)[(3-lambda)(2-lambda) - 2] + [4 - 2lambda - 2]
= (1-lambda)[6 - 5lambda + lambda^2 - 2] + (2 - 2lambda)
= (1-lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2 - 2lambda
Fatorando lambda^2 - 5lambda + 4 :
lambda^2 - 5lambda + 4 = (lambda - 1)(lambda - 4)
Substituindo de volta:
= (1-lambda)(lambda - 1)(lambda - 4) + 2 - 2lambda
= -(lambda - 1)^2(lambda - 4) + 2 - 2lambda
Ainda simplificando, percebemos que os autovalores são lambda = 1 (multiplicidade 2) e lambda = 4 .

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
A - I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1
Reduzindo o sistema:
  • Da primeira equação: -y = 0 y = 0 .
  • Da segunda equação: 2x + 2y + 2z = 0 2x + 2z = 0 x = -z .
Então, os autovetores são da forma (-z, 0, z) = z(-1, 0, 1) . Ou seja, temos uma direção de autovetor: (-1, 0, 1) .
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I)v = 0 :
A - 4I = -3 & -1 & 0 2 & -1 & 2 1 & 1 & -2
Reduzindo o sistema:
  • Da primeira equação: -3x - y = 0 y = -3x .
  • Da segunda equação: 2x - y + 2z = 0 ⇒ Substituindo y :
2x - (-3x) + 2z = 5x + 2z = 0 Rightarrow z = -52x
Então, os autovetores são da forma (x, -3x, -52x) = x(1, -3, -52) . Simplificando, temos a direção (2, -6, -5) .

Passo 5

Agora, vamos verificar se conseguimos três autovetores linearmente independentes (já que a dimensão do espaço é 3). Observamos que:
  • Para lambda = 1 , temos apenas um autovetor independente: (-1, 0, 1) .
  • Para lambda = 4 , temos outro autovetor independente: (2, -6, -5) .
O autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2, mas apenas uma direção independente de autovetor, ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, que é menor que a algébrica.

Resposta

Não, o operador T não é diagonalizável, pois não possui uma base completa de autovetores.

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