O operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(4 x+12 y, 12 x-3 y) é diagonalizável (justifique)? Em caso afirmativo escreva a base B que diagonaliza o operador T e [T]B.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y) = (4x + 12y,;12x - 3y)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Se for, devemos encontrar uma base de autovetores que diagonaliza T e a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar o método de encontrar autovalores (resolvendo o polinômio característico) e depois os autovetores associados.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 4 & 12 12 & -3
O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det 4-lambda & 12 12 & -3-lambda = (4-lambda)(-3-lambda) - 12cdot12 = lambda^2 - lambda -156

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - lambda -156 = 0
temos
lambda = 1 pm raiz1 + 6242 = 1 pm 252,
isto é, os autovalores são
lambda1 = 13 e lambda2 = -12.
Como são dois valores distintos em R, concluímos que T é diagonalizável.

Passo 4

Para cada autovalor, resolvemos :
— Para :
Tomando , um autovetor é .
— Para :
Tomando , um autovetor é .]

Passo 5

Os autovetores v1=(4,3) e v2=(3,-4) são linearmente independentes em R^2. Logo, v1,v2 forma uma base de R^2 que diagonaliza T.

Resposta

A base que diagonaliza T é
B = (4,3),,(3,-4)
e, nessa base, a matriz de T é
[T]B = 13 & 0 0 & -12

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