Dada a transformação linear
definida por
, determine:
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão.
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede a imagem de
, uma base desse subespaço e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de uma transformação linear é o span dos vetores
, onde
são vetores da base canônica de
.
Passo 2
Calcular
aplicado à base canônica
:
Passo 3
Logo
Passo 4
Observe que
e
não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Além disso, todo vetor de
tem terceira coordenada zero e pode ser escrito como combinação
o que coincide com a forma geral de
. Uma base mais simples para a mesma imagem é
pois qualquer
pode ser escrito como
.
Passo 5
A imagem de
é o plano
em
. Como encontramos duas direções independentes, a dimensão desse subespaço é 2.
Resposta
A imagem de
é
Uma base para
é, por exemplo,
e sua dimensão é
.