Dada a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y)=(x-2 y,-x+y, 0), determine:
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z) = (x-2y,,-x+y,,0)
e pede a imagem de T, uma base desse subespaço e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de uma transformação linear é o span dos vetores T(ei), onde ei são vetores da base canônica de R^3.

Passo 2

Calcular T aplicado à base canônica e1,e2,e3:
e1=(1,0,0)implies T(e1) = (1-2cdot0,,-1+0,,0) = (1,-1,0),
e2=(0,1,0)implies T(e2) = (0-2cdot1,,-0+1,,0) = (-2,1,0),
e3=(0,0,1)implies T(e3) = (0-2cdot0,,-0+0,,0) = (0,0,0)

Passo 3

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Im(T) = spanT(e1),,T(e2),,T(e3) = span(1,-1,0),,(-2,1,0),,(0,0,0) =span(1,-1,0),,(-2,1,0)

Passo 4

Observe que (1,-1,0) e (-2,1,0) não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes. Além disso, todo vetor de Im(T) tem terceira coordenada zero e pode ser escrito como combinação
x,(1,-1,0)+y,(-2,1,0) = (,x-2y,,-x+y,,0,),
o que coincide com a forma geral de T(x,y,z). Uma base mais simples para a mesma imagem é
(1,0,0),,(0,1,0),
pois qualquer (u,v,0) pode ser escrito como u,(1,0,0)+v,(0,1,0).

Passo 5

A imagem de T é o plano z=0 em R^3. Como encontramos duas direções independentes, a dimensão desse subespaço é 2.

Resposta

A imagem de T é
Im(T)=(u,v,0)mid u,vinR
Uma base para Im(T) é, por exemplo,
(1,0,0),,(0,1,0),
e sua dimensão é 2.

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