(a) Considere os seguintes vetores . Quais deles são autovetores de ?
(b) Considere os seguintes escalares e . Quais deles são autovalores de ?
Passo 1
O enunciado define por
Queremos (a) identificar quais dos vetores dados são autovetores de e (b) quais dos escalares dados são autovalores. Para isso vamos usar a representação matricial de , calcular seus autovalores e resolver .
Passo 2
Em base canônica, a matriz de é triangular superior:
Como é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo
det(A-lambda I)=(1-lambda)^3,
e o único autovalor (com multiplicidade algébrica 3) é lambda=1.
Passo 3
Para achar o espaço próprio de resolvemos
Da segunda linha vem . Da primeira, . Logo é livre e os autovetores são todos os múltiplos de .
Passo 4
Dos vetores fornecidos: (0,0,0) não conta como autovetor (é o vetor nulo); (1,2,3) tem yneq0 e zneq0, não está em span(1,0,0); (-3,0,0) é múltiplo de (1,0,0), logo é autovetor; (1,1,0) tem yneq0, não é múltiplo de (1,0,0).
Portanto, dentre os dados, apenas (-3,0,0) é autovetor de T.
Passo 5
Como o único autovalor de T é lambda=1, dentre os escalares -1,0,1,raiz2 apenas 1 é autovalor de T.