Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
(a) Considere os seguintes vetores (0,0,0),(1,2,3),(-3,0,0),(1,1,0). Quais deles são autovetores de T ?
(b) Considere os seguintes escalares -1,0,1 e raiz2. Quais deles são autovalores de T ?

Passo 1

O enunciado define TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z)=(x+2y+3z,;y+2z,;z)
Queremos (a) identificar quais dos vetores dados são autovetores de T e (b) quais dos escalares dados são autovalores. Para isso vamos usar a representação matricial de T, calcular seus autovalores e resolver (T-lambda I)v=0.

Passo 2

Em base canônica, a matriz de T é triangular superior:
A= 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
Como é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo
det(A-lambda I)=(1-lambda)^3,
e o único autovalor (com multiplicidade algébrica 3) é lambda=1.

Passo 3

Para achar o espaço próprio de resolvemos
Da segunda linha vem . Da primeira, . Logo é livre e os autovetores são todos os múltiplos de .

Passo 4

Dos vetores fornecidos:
(0,0,0) não conta como autovetor (é o vetor nulo);
(1,2,3) tem yneq0 e zneq0, não está em span(1,0,0);
(-3,0,0) é múltiplo de (1,0,0), logo é autovetor;
(1,1,0) tem yneq0, não é múltiplo de (1,0,0).
Portanto, dentre os dados, apenas (-3,0,0) é autovetor de T.

Passo 5

Como o único autovalor de T é lambda=1, dentre os escalares -1,0,1,raiz2 apenas 1 é autovalor de T.

Resposta

(a) (-3,0,0)
(b) 1

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