Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
() A^-1(A+B) B^-1=A^-1+B^-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a seguinte igualdade de matrizes é verdadeira ou falsa:
A^-1(A+B),B^-1 ;=; A^-1 + B^-1
Estamos trabalhando com matrizes quadradas invertíveis A e B. Para resolver o problema, vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e o fato de que A^-1A=I e B,B^-1=I.

Passo 2

Aplicando a distributividade, temos
A^-1(A+B),B^-1 = A^-1A,B^-1 ;+; A^-1B,B^-1
Agora usamos as identidades das inversas:
A^-1A = I e B,B^-1 = I
Substituindo,
A^-1A,B^-1 = I,B^-1 = B^-1, A^-1B,B^-1 = A^-1,I = A^-1

Passo 3

Somando os dois termos obtidos,
A^-1(A+B),B^-1 = B^-1 + A^-1
Como a soma de matrizes é comutativa, B^-1+A^-1 = A^-1+B^-1. Logo a igualdade se verifica.

Resposta

V

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