Passar o ponto
do sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cilíndricas. O ponto que temos é
. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de conversão entre esses sistemas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada representa no sistema esférico:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x positivo. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
No sistema cilíndrico, queremos achar
(a distância do ponto ao eixo z),
(o mesmo ângulo do sistema esférico) e
(a altura do ponto em relação ao plano xy).
Passo 3
Agora, vamos usar as fórmulas de conversão. As relações entre as coordenadas esféricas
e cilíndricas
são:
Essas fórmulas nos ajudam a encontrar
e
usando
e
. O ângulo
permanece o mesmo nos dois sistemas.
Passo 4
Vamos calcular
usando a fórmula
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a fórmula
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
O ângulo
já está definido no sistema esférico e não muda na conversão para o sistema cilíndrico. Então, continuamos com:
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto
são
.