Passar o ponto R(2 raiz2, 11 pi6, pi4) do sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cilíndricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cilíndricas. O ponto que temos é R(2 raiz2, 11 pi6, pi4) . Para isso, vamos usar algumas fórmulas de conversão entre esses sistemas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada representa no sistema esférico:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x positivo.
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
No sistema cilíndrico, queremos achar r (a distância do ponto ao eixo z), theta (o mesmo ângulo do sistema esférico) e z (a altura do ponto em relação ao plano xy).

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas de conversão. As relações entre as coordenadas esféricas (rho, theta, phi) e cilíndricas (r, theta, z) são:
r = rho sin(phi)
z = rho cos(phi)
Essas fórmulas nos ajudam a encontrar r e z usando rho e phi . O ângulo theta permanece o mesmo nos dois sistemas.

Passo 4

Vamos calcular r usando a fórmula r = rho sin(phi) :
r = 2 raiz2 cdot sin(pi4)
Sabemos que sin(pi4) = raiz22 , então:
r = 2 raiz2 cdot raiz22 = 2 raiz2 cdot raiz22 = 2 cdot 22 = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular z usando a fórmula z = rho cos(phi) :
z = 2 raiz2 cdot cos(pi4)
Sabemos que cos(pi4) = raiz22 , então:
z = 2 raiz2 cdot raiz22 = 2 raiz2 cdot raiz22 = 2 cdot 22 = 2

Passo 6

O ângulo theta já está definido no sistema esférico e não muda na conversão para o sistema cilíndrico. Então, continuamos com:
theta = 11 pi6

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto R são (2, 11 pi6, 2) .

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