Considere o operador linear T: R^3 R^3, definido por
T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y+z)
Encontre uma matriz que represente T^-1 e determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (,x - y,;2y,;y + z,)
Queremos encontrar a matriz de T^-1 na base canônica e a fórmula explícita de T^-1(x,y,z). Para isso usaremos conceitos de matrizes de transformação linear, determinante e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz A de T na base canônica, usando as colunas T(e1), T(e2) e T(e3):
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,2,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,1)
Logo
A = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1
Calculamos o determinante para confirmar que T é invertível:
det A = 1cdotdet2&01&1 -(-1)cdotdet0&00&1 +0 = 1cdot(2cdot1-0)-0 = 2neq0

Passo 3

Para achar
Temos o sistema
Da segunda equação segue
Substituindo na primeira e na terceira:
Logo, para todo ((u_1,u_2,u_3)],

Passo 4

Agora extraímos a matriz A^-1 de T^-1 observando as imagens de e1,e2,e3 por T^-1:
T^-1(1,0,0) = (1,0,0), T^-1(0,1,0) = l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12r), T^-1(0,0,1) = (0,0,1)
Assim
A^-1 = 1 & tfrac12 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & -tfrac12 & 1

Resposta

A matriz de T^-1 na base canônica é
A^-1 = 1 & tfrac12 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & -tfrac12 & 1 ,
e a fórmula de T^-1(x,y,z) é
T^-1(x,y,z) = l(x + tfracy2,;tfracy2,;z - tfracy2r)

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