Considere o operador linear
, definido por
Mostre que
é um isomorfismo;
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos mostrar que
é um isomorfismo, ou seja, que é um operador linear bijetivo (equivalente a ter matriz inversível).
Passo 2
Primeiro, verificamos a linearidade de
. Note que cada componente de
é combinação linear de
. Para quaisquer vetores
,
e escalar
:
Logo,
é linear.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de
na base canônica
. Calculando colunas:
Assim, a matriz de
é
Passo 4
Para verificar se
T é invertível, basta checar
det A . Calculamos:
Como
det Aneq0 ,
A é inversível e, portanto,
T é bijetivo.
Passo 5
Concluímos que
T é linear e sua matriz na base canônica tem determinante diferente de zero, logo
T é um isomorfismo de
R^3 .