Considere o operador linear T: R^3 R^3, definido por
T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y+z)
Mostre que T é um isomorfismo;

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (x - y,;2y,;y + z)
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que é um operador linear bijetivo (equivalente a ter matriz inversível).

Passo 2

Primeiro, verificamos a linearidade de T. Note que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Para quaisquer vetores (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) e escalar c:
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =(x1+x2)-(y1+y2),;2(y1+y2),;(y1+y2)+(z1+z2)
=T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2) e Tl(c,(x,y,z)r) =T(cx,cy,cz) =(cx-cy,;2cy,;cy+cz) =c,(x-y,2y,y+z) =c,T(x,y,z)
Logo, T é linear.

Passo 3

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Calculando colunas:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,2,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,1)
Assim, a matriz de T é
A = 1 & -1 & 0 0 & ;2 & 0 0 & ;1 & 1

Passo 4

Para verificar se T é invertível, basta checar det A. Calculamos:
det A =1cdotdet!2&01&1 -(-1)cdotdet!0&00&1 +0cdotcdots =1cdot(2cdot1-0cdot1)+1cdot0 =2neq0
Como det Aneq0, A é inversível e, portanto, T é bijetivo.

Passo 5

Concluímos que T é linear e sua matriz na base canônica tem determinante diferente de zero, logo T é um isomorfismo de R^3.

Resposta

T é um isomorfismo.

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