Considere T: R^3 R^3 o operador linear, definido por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z). Encontre:
núcleo T, uma base e a dimensão

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y-z,;y+z,;x+y-2z)
e pede o núcleo de T. Para isso, vamos usar a definição
ker(T)=(x,y,z)inR^3mid T(x,y,z)=(0,0,0)
e resolver o sistema linear correspondente.

Passo 2

Escrevemos as equações de
Da segunda equação segue
Substituindo em (x+2y-z=0] obtém-se

A terceira equação é então satisfeita automaticamente.

Passo 3

A solução geral é
(x,y,z)=(3z,,-z,,z), zinR,
ou seja
ker(T)=(3z,-z,z)mid zinR

Passo 4

Para escolher uma base do núcleo, basta tomar z=1, o que gera o vetor (3,-1,1). Logo
ker(T)=span(3,-1,1),
e a dimensão de ker(T) é
dim(ker(T))=1

Resposta

ker(T)=span(3,-1,1), base (3,-1,1), dimensão 1.

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