Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com matriz associada:
A=[ccc 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 ]
Caso seja invertível, determine a transformação inversa T^-1(x).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: R^3to R^3 com matriz
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2
e pede a inversa T^-1(x). O conteúdo envolve verificar invertibilidade via determinante, calcular a matriz adjunta (cofatores transpostos) e obter A^-1. Em seguida escrevemos T^-1(x)=A^-1x.

Passo 2

Calculamos o determinante de A usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotl(3cdot2-(-1)cdot0r) -2cdotl(0cdot2-(-1)cdot1r) +1cdotl(0cdot0-3cdot1r) =6-2cdot1-3=1
Como det(A)=1neq0, A é invertível.

Passo 3

Para achar a matriz de cofatores, calculamos cada menor e aplicamos o sinal (-1)^i+j. O resultado é
Cof(A)= 6 & -1 & -3 -4 & 1 & 2 -5 & 1 & 3
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
adj(A) =Cof(A)^T = 6 & -4 & -5 -1 & 1 & 1 -3 & 2 & 3

Passo 4

Como det(A)=1, temos
A^-1 =1det(A),adj(A) =adj(A) = 6 & -4 & -5 -1 & 1 & 1 -3 & 2 & 3

Passo 5

Finalmente, para qualquer vetor , a inversa da transformação é

Resposta

T^-1(x1,x2,x3) =l(6x1 - 4x2 - 5x3,;-x1 + x2 + x3,;-3x1 + 2x2 + 3x3r)

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