Verifique se as seguintes transformações lineares são injetoras, sobrejetoras, e/ou bijetoras:
G: R^3 R^3, definida por G(x, y, z)=(x+y+z, 2 x-z, y+z)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Gcolon R^3toR^3, G(x,y,z)=(x+y+z,;2x-z,;y+z)
Queremos verificar se G é injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Para isso, vamos usar a representação matricial de G na base canônica de R^3 e estudar seu posto (ou determinante), pois em espaços de dimensão finita:
  • injetividade iff posto igual à dimensão do domínio,
  • sobrejetividade iff posto igual à dimensão do contradomínio,
  • bijetividade iff injetora e sobrejetora simultaneamente.

Passo 2

A matriz de em relação à base canônica é
pois
Logo, . Se , então , o que garante injetividade e sobrejetividade.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 =1cdot0 & -11 & 1 -1cdot2 & -10 & 1 +1cdot2 & 00 & 1
Agora cada menor:
0 & -11 & 1 =0cdot1-(-1)cdot1=1, 2 & -10 & 1 =2cdot1-(-1)cdot0=2, 2 & 00 & 1 =2cdot1-0cdot0=2
Portanto
det(A)=1cdot1 -1cdot2 +1cdot2 =1-2+2=1neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, temos rank(A)=3. Logo G é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora.

Resposta

A transformação G é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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