Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z).
O operador T é diagonalizável (justifique)? Em caso afirmativo escreva a base B que diagonaliza o operador T e[T]B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-2z,;0,;-2x+4z)
e pede para decidir se T é diagonalizável, justificando, e, em caso afirmativo, exibir uma base B de autovetores e a matriz diagonal [T]B.
Conteúdo: diagonalização de operador linear, vamos usar matriz em base canônica, polinômio característico, multiplicidades algébrica e geométrica e cálculo de autovetores.

Passo 2

Na base canônica E=e1,e2,e3 temos
[T]E = A = 1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 4
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det! 1-lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4-lambda = -lambda^2(lambda-5)
Logo os autovalores são lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=5 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para
Dessa equação vem fica livre. Uma base do espaço próprio de é
que tem dimensão 2.
Para resolvemos
de onde . Uma base do espaço próprio de é
que tem dimensão 1.

Passo 4

A soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à dimensão de R^3. Portanto T é diagonalizável.

Passo 5

Tomando como base de autovetores
B = l,v1=(2,0,1),;v2=(0,1,0),;v3=(1,0,-2)r,
os dois primeiros correspondem a lambda=0 e o último a lambda=5. Na ordem v1,v2,v3 a matriz de T fica diagonal:
[T]B ;=; 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5

Resposta

A transformação T é diagonalizável.
Uma base que diagonaliza T é
B = (2,0,1),,(0,1,0),,(1,0,-2),
e a matriz de T nessa base é
[T]B = diag(0,0,5)

Exercícios relacionados