Questão 26: Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
é o conjunto de todas as matrizes
triangulares.
Não
b)
Não
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as matrizes triangulares.
Queremos ver se é subespaço vetorial de
.
Para isso basta checar:
como o conjunto de todas as matrizes
Queremos ver se
Para isso basta checar:
- se a matriz zero pertence a
; - se
é fechado sob soma; - se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a condição do vetor zero:
a matriz zero
a matriz zero
é simultaneamente triangular superior e inferior, logo está em
W .
Passo 3
Agora testamos o fechamento sob adição. Escolhemos
Aqui
A é triangular superior e
B é triangular inferior, então
A,BinW .
Mas
Mas
não é nem triangular superior nem triangular inferior, logo
A+BnotinW .
Isso mostra queW não é fechado sob soma.
Isso mostra que