Questão 26: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b) W é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 triangulares.
Não

Passo 1

O enunciado define
Wsubset M2times2(R)
como o conjunto de todas as matrizes 2times2 triangulares.
Queremos ver se W é subespaço vetorial de M2times2(R).
Para isso basta checar:
  1. se a matriz zero pertence a W;
  2. se W é fechado sob soma;
  3. se W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a condição do vetor zero:
a matriz zero
O = 0 & 0 0 & 0
é simultaneamente triangular superior e inferior, logo está em W.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob adição. Escolhemos
A = 1 & 1 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 1
Aqui A é triangular superior e B é triangular inferior, então A,BinW.
Mas
A + B = 1 & 1 0 & 0 + 0 & 0 1 & 1 = 1 & 1 1 & 1
não é nem triangular superior nem triangular inferior, logo A+BnotinW.
Isso mostra que W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de M2times2(R).

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