A dimensão e o núcleo da transformação linear dada por são?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear por
e pede a dimensão de e uma descrição de . Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e resolver o sistema homogêneo .
Passo 2
Escrevemos a matriz associada a nas bases canônicas:
Para achar dimker(T) basta calcular o posto de A. Note que a segunda linha não é múltiplo da primeira (pois 3/1 neq 1/(-1)), então rank(A)=2. Pelo teorema do posto
dimker(T) = 3 - rank(A) = 3 - 2 = 1
Passo 3
Agora encontramos um vetor não nulo que gera o kernel. Resolvemos o sistema
x - y + 4z = 0, 3x + y + 8z = 0
Da primeira equação vem x = y - 4z. Substituindo na segunda:
3(y-4z) + y + 8z = 4y - 4z = 0 ;Longrightarrow; y = z
Logo x = z - 4z = -3z. Portanto
(x,y,z) = z,(-3,1,1) = t,(3,-1,-1), tinR
Passo 4
Concluímos que ker(T) é uma reta unidimensional gerada por (3,-1,-1), de modo que