A dimensão e o núcleo da transformação linear dada por T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z) são? dimKer(T)=1 e Ker(T)=[(3,-1,-1)]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x - y + 4z,;3x + y + 8z,)
e pede a dimensão de ker(T) e uma descrição de ker(T). Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e resolver o sistema homogêneo T(x,y,z)=0.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada a T nas bases canônicas:
A = 1 & -1 & 4 3 & 1 & 8
Para achar dimker(T) basta calcular o posto de A. Note que a segunda linha não é múltiplo da primeira (pois 3/1 neq 1/(-1)), então rank(A)=2. Pelo teorema do posto
dimker(T) = 3 - rank(A) = 3 - 2 = 1

Passo 3

Agora encontramos um vetor não nulo que gera o kernel. Resolvemos o sistema
x - y + 4z = 0, 3x + y + 8z = 0
Da primeira equação vem x = y - 4z. Substituindo na segunda:
3(y-4z) + y + 8z = 4y - 4z = 0 ;Longrightarrow; y = z
Logo x = z - 4z = -3z. Portanto
(x,y,z) = z,(-3,1,1) = t,(3,-1,-1), tinR

Passo 4

Concluímos que ker(T) é uma reta unidimensional gerada por (3,-1,-1), de modo que
ker(T) = span(3,-1,-1),
e já tínhamos dimker(T)=1.

Resposta

dimker(T)=1
ker(T)=span(3,-1,-1)

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