Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z).
Determine os autovalores reais de T (caso existam) e a multiplicidade algébrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x-2z,;0,;-2x+4z)
Queremos encontrar os autovalores reais de T e suas multiplicidades algébricas. Para isso, vamos usar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I), e fatorá-lo.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3. Vendo as imagens de cada vetor-canônico, temos
A = 1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 4

Passo 3

O polinômio característico é
detl(A - lambda Ir) = det 1-lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4-lambda
Como a segunda linha tem dois zeros, expandimos por ela:
det(A-lambda I) = (-lambda),det 1-lambda & -2 -2 & 4-lambda

Passo 4

Calculamos o determinante 2times2:
det 1-lambda & -2 -2 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (-2)(-2)
Expandindo,
(1-lambda)(4-lambda) = lambda^2 -5lambda +4, (-2)(-2)=4,
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(1-lambda)(4-lambda) -4 = (lambda^2 -5lambda +4) -4 = lambda^2 -5lambda
Portanto
det(A-lambda I) = -lambda,(lambda^2 -5lambda) = -lambda^2(lambda -5)

Passo 5

As raízes do polinômio -lambda^2(lambda-5)=0 são
lambda=0 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=5 com multiplicidade algébrica 1.

Resposta

Autovalores reais e suas multiplicidades algébricas:
lambda=0, multiplicidade algébrica 2.
lambda=5, multiplicidade algébrica 1.

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