Considere o operador linear F: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) definido por:
F\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 a+b & 2 b \\\\ 2 c & 3 d \end{array}\right) .
Determine a matriz da transformação F com relação à base canônica de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define um operador linear
F\colon M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}),
que agindo numa matriz \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} produz
F\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}2a+b&2b\\\ 2c&3d\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar a matriz de F na base canônica
\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 2

Para cada E_{ij} calculamos F(E_{ij}) e expressamos esse resultado como combinação linear de
\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}. Os coeficientes dessa combinação serão as colunas da matriz de F.

Passo 3

Calcular F(E_{11}). Como em E_{11} temos a=1,b=c=d=0,
F(E_{11}) =\begin{pmatrix}2\cdot1+0&2\cdot0\\\ 2\cdot0&3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix} =2\,E_{11}.
Logo, em coordenadas na base canônica,
\bigl[F(E_{11})\bigr]=\begin{pmatrix}2,0,0,0\end{pmatrix}^T.

Passo 4

Calcular F(E_{12}). Aqui a=0,b=1,c=d=0,
F(E_{12}) =\begin{pmatrix}2\cdot0+1&2\cdot1\\\ 2\cdot0&3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix} =1\,E_{11}+2\,E_{12}.
Em coordenadas,
\bigl[F(E_{12})\bigr]=\begin{pmatrix}1,2,0,0\end{pmatrix}^T.

Passo 5

Calcular F(E_{21}). Aqui a=b=d=0,c=1,
F(E_{21}) =\begin{pmatrix}2\cdot0+0&2\cdot0\\\ 2\cdot1&3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 2&0\end{pmatrix} =2\,E_{21},
logo \bigl[F(E_{21})\bigr]=\begin{pmatrix}0,0,2,0\end{pmatrix}^T.
Calcular F(E_{22}). Aqui a=b=c=0,d=1,
F(E_{22}) =\begin{pmatrix}2\cdot0+0&2\cdot0\\\ 2\cdot0&3\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&3\end{pmatrix} =3\,E_{22},
logo \bigl[F(E_{22})\bigr]=\begin{pmatrix}0,0,0,3\end{pmatrix}^T.

Passo 6

A matriz de F na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} tem como colunas os vetores- -coluna
\bigl[F(E_{11})\bigr], \bigl[F(E_{12})\bigr], \bigl[F(E_{21})\bigr], \bigl[F(E_{22})\bigr]. Assim,
[F]_{\mathrm{can}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

[F]_{\mathrm{can}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados