Considere o operador linear F sobre \mathbb{R}^{3}, definido por:
F(x, y, z)=(x, y-2 y, y+z) .
Determine o isomorfismo inverso F^{-1}, utilizando a matriz da transformação F com relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define o operador linear F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
F(x,y,z)=(x,\;y-2y,\;y+z).
Como y-2y=-y, podemos reescrever
F(x,y,z)=(x,\,-y,\;y+z).
Para encontrar F^{-1}, vamos montar a matriz de F na base canônica e invertê-la.

Passo 2

Cada coluna da matriz A de F é F(e_j), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Calculamos:
F(e_1)=(1,0,0),\quad F(e_2)=(0,-1,1),\quad F(e_3)=(0,0,1).
Logo,
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Verificamos que
\det A = 1\cdot(-1\cdot1 - 0\cdot1) = -1 \neq 0,
então A é invertível. Para achar A^{-1}, resolvemos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix},
isto é o sistema
\begin{cases} x = u,\\\\ -y = v,\\\ y + z = w. \end{cases}

Passo 4

Do sistema obtemos
x = u,\quad y = -v,\quad z = w - y = w + v.
Portanto, dado (u,v,w), seu antecedente é
F^{-1}(u,v,w) = (u,\,-v,\,w+v).

Resposta

F^{-1}(x,y,z) = (x,\,-y,\,y+z).

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