Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por:
F(x, y, z)=(x+y, 2 z) .
Determine a matriz de F em relação às bases: B=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e C=\{(1,0),(1,1)\} de \mathbb{R}^{2}, ou seja, calcule (F)_{B C}.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
F(x,y,z) = (x+y,\;2z)
e pede a matriz de F em relação às bases
B = \{(1,1,0),\,(1,0,1),\,(0,0,1)\}\subset\mathbb{R}^3 \quad\text{e}\quad C = \{(1,0),\,(1,1)\}\subset\mathbb{R}^2.
Para isso, vamos (i) calcular F em cada vetor de B e (ii) expressar esses resultados nas coordenadas da base C.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de B sob F:
F(1,1,0) = (1+1,\;2\cdot0) = (2,0),
F(1,0,1) = (1+0,\;2\cdot1) = (1,2),
F(0,0,1) = (0+0,\;2\cdot1) = (0,2).

Passo 3

Para achar as coordenadas de um vetor (v_1,v_2) na base
\;C=\{c_1=(1,0),\,c_2=(1,1)\}, escrevemos
a\,c_1 \;+\; b\,c_2 \;=\;(a+b,\;b)\;=\;(v_1,\;v_2).
Daí vem
b = v_2, \qquad a = v_1 - v_2.

Passo 4

Aplicando isso a cada imagem:
F(1,1,0)=(2,0)\;\mapsto\;(a,b)=(2-0,0)=(2,0),
F(1,0,1)=(1,2)\;\mapsto\;(a,b)=(1-2,2)=(-1,2),
F(0,0,1)=(0,2)\;\mapsto\;(a,b)=(0-2,2)=(-2,2).
Esses pares (a,b) formam as colunas da matriz procurada.

Resposta

A matriz de F em relação às bases B e C é
(F)_{BC} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

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