Considere os operadores lineares F e G sobre \mathbb{R}^{2}, definidos por:
F(x, y)=(x+2 y, y), \quad G(x, y)=(-x, y) .
Determine as matrizes das transformações lineares F+G, 2 F, F G e F^{2}, com relação à base canônica de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define dois operadores lineares em \mathbb{R}^2:
\;F(x,y)=(x+2y,y) e \;G(x,y)=(-x,y).
O objetivo é achar as matrizes de F+G, 2F, F\,G e F^2 na base canônica. Para isso, primeiro vamos obter as matrizes de F e G e depois usar soma, escalar e produto de matrizes.

Passo 2

Para achar a matriz de F, calculamos F(e_1) e F(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1):
F(e_1)=F(1,0)=(1+2\cdot0,0)=(1,0),
F(e_2)=F(0,1)=(0+2\cdot1,1)=(2,1).
Logo, a matriz de F na base canônica é
[F]=\begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
De modo análogo, para G:
G(e_1)=(-1,0),
G(e_2)=(0,1),
logo
[G]=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz de F+G é a soma das matrizes de F e G:
[F+G]=[F]+[G] =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz de 2F é simplesmente duas vezes a de F:
[2F]=2\,[F] =2\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para a composição F\,G, multiplicamos [F] por [G]:
[FG]=[F]\,[G] =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para F^2=F\circ F, calculamos [F]^2:
[F^2]=[F]\,[F] =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

[F+G]=\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix}
[2F]=\begin{pmatrix}2 & 4\\\ 0 & 2\end{pmatrix}
[FG]=\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
[F^2]=\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 0 & 1\end{pmatrix}

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