Exiba um isomorfismo T do espaço vetorial real \mathbb{R}^{2} no subespaço vetorial S \subset \mathbb{R}^{3}, definido por:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+2 z=0\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para construirmos um isomorfismo
\;T:\mathbb{R}^2\to S\subset\mathbb{R}^3,
onde
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x - y + 2z = 0\}.
O conteúdo é de Álgebra Linear: dimensão de subespaços, parametrização e isomorfismos lineares.

Passo 2

Determinamos a dimensão de S. Como S é o núcleo da forma linear (x,y,z)\mapsto x - y + 2z em \mathbb{R}^3, tem codimensão 1, logo
\dim S = 3 - 1 = 2.
Isso mostra que \dim\mathbb{R}^2 = \dim S, condição necessária para existir um isomorfismo.

Passo 3

Parametrizamos S. Da equação
x - y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y - 2z,
podemos tomar u=y e v=z como parâmetros livres. Assim, todo vetor de S é
(x,y,z) = (u - 2v,\;u,\;v) = u\,(1,1,0)\;+\;v\,(-2,0,1).

Passo 4

Definimos a aplicação linear
T:\mathbb{R}^2\to S, \qquad T(u,v) = (\,u - 2v,\;u,\;v\,).
Cada componente de T(u,v) é combinação linear de u e v, portanto T é linear.

Passo 5

Verificamos que T é bijetora:
  • Injetividade: se T(u,v)=(0,0,0), então u - 2v = 0,\quad u = 0,\quad v = 0 \;\Longrightarrow\;(u,v)=(0,0).
  • Como \dim\mathbb{R}^2=\dim S e T é injetora, segue-se que é também sobrejetora.
Portanto T é um isomorfismo.

Resposta

T:\mathbb{R}^2\to S dada por
T(u,v) = (\,u - 2v,\;u,\;v\,).

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