Exiba um isomorfismo
do espaço vetorial real
no subespaço vetorial
, definido por:
Passo 1
O enunciado pede para construirmos um isomorfismo
,
onde
onde
O conteúdo é de Álgebra Linear: dimensão de subespaços, parametrização e isomorfismos lineares.
Passo 2
Determinamos a dimensão de
. Como
é o núcleo da forma linear
em
, tem codimensão 1, logo
Isso mostra que
, condição necessária para existir um isomorfismo.
Passo 3
Parametrizamos
. Da equação
podemos tomar
e
como parâmetros livres. Assim, todo vetor de
é
Passo 4
Definimos a aplicação linear
Cada componente de
é combinação linear de
e
, portanto
é linear.
Passo 5
Verificamos que
é bijetora:
- Injetividade: se
, então - Como
e é injetora, segue-se que é também sobrejetora.
Portanto
é um isomorfismo.