Considere o operador linear T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(2 x+z,-3 y+z,-3 z). Encontre o polinômio característico de T, os auto-valores de T e os correspondentes auto-vetores. Verifique se R^3 possui uma base de auto-vetores de T.

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio característico, os autovalores e autovetores do operador linear T:ℝ³→ℝ³ dado por T(x,y,z)=(2x+z,−3y+z,−3z) e verificar se ℝ³ admite uma base de autovetores de T. Vamos usar noções de matriz de um operador, determinante e resolução de sistemas homogêneos.

Passo 2

Para começar, montamos a matriz de T na base canônica {e₁,e₂,e₃}. Como T(e₁)=T(1,0,0)=(2,0,0), T(e₂)=(0,−3,0) e T(e₃)=(1,1,−3), a matriz é
A = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3

Passo 3

O polinômio característico é definido por det(A−λI). Como A é triangular superior, temos
p(λ)=det(A-λI)=det2-λ&0&10&-3-λ&10&0&-3-λ=(2-λ)(-3-λ)^2

Passo 4

As raízes de p(λ) são os autovalores. Logo
λ1=2 e λ2=-3, sendo 2 de multiplicidade algébrica 1 e −3 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para achar o autovetor associado a λ=2, resolvemos (A−2I)v=0:
A-2I=0&0&10&-5&10&0&-5 Das equações obtemos z=0 e −5y+z=0⇒y=0, ficando x livre. Portanto o espaço próprio é gerado por (1,0,0).

Passo 6

Para λ=−3, resolvemos (A+3I)v=0:
A+3I=5&0&10&0&10&0&0 Das equações vem z=0 e 5x+z=0⇒x=0, com y livre. Logo o espaço próprio é gerado por (0,1,0).

Passo 7

Como a multiplicidade geométrica de λ=−3 é 1, menor que a algébrica (2), só temos dois autovetores independentes. Portanto ℝ³ não admite base formada por autovetores de T.

Exercícios relacionados