Considere o operador linear
tal que
. Encontre o polinômio característico de
, os auto-valores de
e os correspondentes auto-vetores. Verifique se
possui uma base de auto-vetores de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o polinômio característico, os autovalores e autovetores do operador linear T:ℝ³→ℝ³ dado por T(x,y,z)=(2x+z,−3y+z,−3z) e verificar se ℝ³ admite uma base de autovetores de T. Vamos usar noções de matriz de um operador, determinante e resolução de sistemas homogêneos.
Passo 2
Para começar, montamos a matriz de T na base canônica {e₁,e₂,e₃}. Como T(e₁)=T(1,0,0)=(2,0,0), T(e₂)=(0,−3,0) e T(e₃)=(1,1,−3), a matriz é
Passo 3
O polinômio característico é definido por det(A−λI). Como A é triangular superior, temos
Passo 4
As raízes de p(λ) são os autovalores. Logo
Passo 5
Para achar o autovetor associado a λ=2, resolvemos (A−2I)v=0:
Passo 6
Para λ=−3, resolvemos (A+3I)v=0:
Passo 7
Como a multiplicidade geométrica de λ=−3 é 1, menor que a algébrica (2), só temos dois autovetores independentes. Portanto ℝ³ não admite base formada por autovetores de T.