Considere a transformação linear
definida por:
Verifique se
é um isomorfismo, analisando a injetividade e a sobrejetividade da transformação.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
e pede para verificar se
é um isomorfismo, ou seja, se ela é injetiva e sobrejetiva. Vamos usar conceitos básicos de transformações lineares: núcleo, imagem e teorema da dimensão.
Passo 2
Para testar a injetividade, lembramos que uma aplicação linear é injetiva exatamente quando o seu núcleo é trivial, isto é,
deve conter somente o vetor nulo
.
Passo 3
Calculemos
isso equivale ao sistema
Da segunda equação vem
e, substituindo na primeira,
. Logo
Passo 4
Como
é só o vetor zero, concluímos que
é injetiva.
Passo 5
Para surjetividade, podemos usar que em espaços de dimensão finita igual (aqui ambos são
portanto existe sempre
, mostrando que
é sobrejetiva.
Resposta
A transformação
é um isomorfismo, pois é injetiva e sobrejetiva.