Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(x, y)=(x-2 y, y) .
Verifique se T é um isomorfismo, analisando a injetividade e a sobrejetividade da transformação.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad T(x,y) = (x - 2y,\;y)
e pede para verificar se T é um isomorfismo, ou seja, se ela é injetiva e sobrejetiva. Vamos usar conceitos básicos de transformações lineares: núcleo, imagem e teorema da dimensão.

Passo 2

Para testar a injetividade, lembramos que uma aplicação linear é injetiva exatamente quando o seu núcleo é trivial, isto é,
\ker(T) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : T(x,y) = (0,0)\}
deve conter somente o vetor nulo (0,0).

Passo 3

Calculemos
T(x,y)=(x-2y,y)=(0,0)
isso equivale ao sistema
\begin{cases} x - 2y = 0,\\\ y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0 e, substituindo na primeira, x-2\cdot0=0\implies x=0. Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.

Passo 4

Como \ker(T) é só o vetor zero, concluímos que T é injetiva.

Passo 5

Para surjetividade, podemos usar que em espaços de dimensão finita igual (aqui ambos são \mathbb{R}^2\)) ter injetividade já garante sobrejetividade. Alternativamente, dado um alvo arbitrário \((u,v)\in\mathbb{R}^2\), resolvemos \[(x-2y,y)=(u,v)\implies \begin{cases} y = v,\\\ x - 2v = u\implies x = u + 2v, \end{cases}
portanto existe sempre (x,y)=(u+2v,v)\] tal que \(T(x,y)=(u,v), mostrando que T é sobrejetiva.

Resposta

A transformação T é um isomorfismo, pois é injetiva e sobrejetiva.

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