Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por T(x, y, z)=(2 x+y+z, x+2 y+z, x+y+2 z).
(a) Encontrar os autovalores de T sabendo-se que \lambda=1 é um autovalor.
(b) Achar uma base \beta de \mathbb{R}^{3} constituida de autovetores de T.
(c) Calcule [T]_{\beta}^{\beta},[I]_{\beta}^{c},[I]_{c}^{\beta} e \left([T]_{c}^{c}\right)^{150}, c base canônica.
Passo 1
Em relação à base canônica c=\{e_1,e_2,e_3\}, o operador
é a matriz cujos elementos são todos 1. Sabemos que J tem um autovalor 3 (com autovetor (1,1,1)) e autovalor 0 de multiplicidade 2. Logo os autovalores de M = I+J são