Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por T(x, y, z)=(2 x+y+z, x+2 y+z, x+y+2 z).
(a) Encontrar os autovalores de T sabendo-se que \lambda=1 é um autovalor.
(b) Achar uma base \beta de \mathbb{R}^{3} constituida de autovetores de T.
(c) Calcule [T]_{\beta}^{\beta},[I]_{\beta}^{c},[I]_{c}^{\beta} e \left([T]_{c}^{c}\right)^{150}, c base canônica.

Passo 1

Em relação à base canônica c=\{e_1,e_2,e_3\}, o operador
T(x,y,z)=(2x+y+z,\;x+2y+z,\;x+y+2z)
é representado pela matriz
M=[T]_{c}^{c} =\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é encontrar autovalores e autovetores de M para depois montar a base \beta de autovetores e as matrizes de mudança de base e potências.

Passo 2

Observe que M = I + J, onde
J = \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix}
é a matriz cujos elementos são todos 1. Sabemos que J tem um autovalor 3 (com autovetor (1,1,1)) e autovalor 0 de multiplicidade 2. Logo os autovalores de M = I+J são
1+3=4 \quad\text{e}\quad 1+0=1\\ (\text{mult.\\ }2).
Conferimos também que \lambda=1 é de fato um autovalor dado.

Passo 3

– Para \lambda=4, resolvemos (M-4I)v=0, o que dá v\parallel(1,1,1).
– Para \lambda=1, resolvemos (M-I)v=0, que impõe
(M-I)= \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix}, \quad x+y+z=0,
espaço de dimensão 2. Tomamos, por exemplo,
v_2=(1,-1,0), \quad v_3=(1,0,-1).
Assim uma base \beta de \Bbb R^3 de autovetores é
\beta=\bigl\{v_1=(1,1,1),\;v_2=(1,-1,0),\;v_3=(1,0,-1)\bigr\}.

Passo 4

Em \beta, a matriz de T é diagonal com as entradas iguais aos autovalores na ordem (v_1,v_2,v_3). Logo
[T]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix} 4&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base de \beta para a base canônica c tem colunas dadas pelos vetores de \beta escritos em c:
[I]_{\beta}^{c} =\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&-1&0\\\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}.
A inversa dessa matriz é a mudança de base de c para \beta. Calculando inversa,
[I]_{c}^{\beta} =\bigl([I]_{\beta}^{c}\bigr)^{-1} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 6

Para \bigl([T]_{c}^{c}\bigr)^{150}=M^{150}, usamos que M=I+J e que J^2=3J. Por indução obtém-se
M^n =I+\frac{4^n-1}{3}\,J.
Logo, para n=150,
\bigl([T]_{c}^{c}\bigr)^{150} =M^{150} =I+\frac{4^{150}-1}{3} \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=4 e \lambda=1 (multiplicidade 2).
(b) Uma base de autovetores é \beta=\{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,-1)\}.
(c)
[T]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix} 4&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix},\quad [I]_{\beta}^{c} =\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&-1&0\\\\ 1&0&-1 \end{pmatrix},\quad [I]_{c}^{\beta} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix},
\bigl([T]_{c}^{c}\bigr)^{150} =I+\frac{4^{150}-1}{3} \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

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