Seja T: V^{5} \rightarrow V^{5} operador linear, com polinômio caracterítico p_{T}(x)=x(x-2)^{3}(x-3). T é isomorfismo? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos diz que T: V^{5}\to V^{5} é um operador linear cujo polinômio característico é
p_{T}(x)=x\,(x-2)^{3}\,(x-3).
A questão pergunta se T é um isomorfismo, ou seja, se é invertível. Para isso, vamos usar a relação entre invertibilidade, determinante e valores próprios.

Passo 2

Recordando um fato importante: um operador linear T em um espaço de dimensão finita é invertível se, e somente se, não tiver zero como valor próprio. Equivalentemente,
T\text{ é invertível}\quad\Longleftrightarrow\quad\det(T)\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\notin\{\text{autovalores de }T\}.éí

Passo 3

No polinômio característico temos o fator x, o que significa que 0 é raiz de p_{T}(x) e, portanto, 0 é valor próprio de T. Logo
\det(T)=p_{T}(0)=0\cdot(0-2)^{3}\cdot(0-3)=0,
ou seja, \det(T)=0 e T não é invertível.

Resposta

T não é isomorfismo, pois possui 0 como valor próprio e \det(T)=0.

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