Seja
operador linear, com polinômio caracterítico
.
é isomorfismo? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos diz que
é um operador linear cujo polinômio característico é
A questão pergunta se
é um isomorfismo, ou seja, se é invertível. Para isso, vamos usar a relação entre invertibilidade, determinante e valores próprios.
Passo 2
Recordando um fato importante: um operador linear
em um espaço de dimensão finita é invertível se, e somente se, não tiver zero como valor próprio. Equivalentemente,
Passo 3
No polinômio característico temos o fator
, o que significa que
é raiz de
e, portanto,
é valor próprio de
. Logo
ou seja,
e
não é invertível.