Queremos encontrar uma base e a dimensão de \operatorname{Ker}(T) e de \operatorname{Im}(T). Para isso, vamos usar a matriz associada à transformação, fazer redução de linhas, resolver o sistema homogêneo e identificar o espaço coluna.
Passo 2
Escrevemos a matriz de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^2:
Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, logo \operatorname{rank}(A)=2.
Passo 3
Para \operatorname{Ker}(T)\), resolvemos \(A(x,y,z,w)^T=0\). O sistema é
\[\begin{cases} x + 2y + 3z + w = 0,\\\ x + 3y + 5z - 2w = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
y + 2z - 3w = 0 \implies y = -2z + 3w.
Substituindo em x + 2y + 3z + w = 0\]:
\[x - z + 7w = 0 \implies x = z - 7w.\]
Tomando \(z = s e w = t, o vetor genérico do núcleo é
(x,y,z,w) = s\,(1,-2,1,0) \;+\; t\,(-7,3,0,1).
Logo
\dim\bigl(\operatorname{Ker}(T)\bigr)=2
e uma base é \{(1,-2,1,0),\,(-7,3,0,1)\}.
Passo 4
Para \operatorname{Im}(T), basta olhar o espaço coluna de A. Como os pivôs estão nas colunas 1 e 2, uma base é dada pelos vetores-coluna dessas posições, ou seja,
(1,1)\quad\text{e}\quad(2,3).
Como há 2 pivôs,
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=2.
Resposta
(a) \dim(\operatorname{Ker}(T))=2, base \{(1,-2,1,0),\,(-7,3,0,1)\}.
(b) \dim(\operatorname{Im}(T))=2, base \{(1,1),\,(2,3)\}.