Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y, z, w)=(x+2 y+3 z+w, x+3 y+5 z-2 w)
Encontre:
(a) uma base e dimensão para o \operatorname{Ker}(T);
(b) uma base e dimensão para a \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z,w) = (x + 2y + 3z + w,\; x + 3y + 5z - 2w).
Queremos encontrar uma base e a dimensão de \operatorname{Ker}(T) e de \operatorname{Im}(T). Para isso, vamos usar a matriz associada à transformação, fazer redução de linhas, resolver o sistema homogêneo e identificar o espaço coluna.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^2:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 3 & 5 & -2 \end{pmatrix}.
Fazendo operação \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - \text{L}_1 obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, logo \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 3

Para \operatorname{Ker}(T)\), resolvemos \(A(x,y,z,w)^T=0\). O sistema é \[\begin{cases} x + 2y + 3z + w = 0,\\\ x + 3y + 5z - 2w = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
y + 2z - 3w = 0 \implies y = -2z + 3w.
Substituindo em x + 2y + 3z + w = 0\]: \[x - z + 7w = 0 \implies x = z - 7w.\] Tomando \(z = s e w = t, o vetor genérico do núcleo é
(x,y,z,w) = s\,(1,-2,1,0) \;+\; t\,(-7,3,0,1).
Logo
\dim\bigl(\operatorname{Ker}(T)\bigr)=2
e uma base é \{(1,-2,1,0),\,(-7,3,0,1)\}.

Passo 4

Para \operatorname{Im}(T), basta olhar o espaço coluna de A. Como os pivôs estão nas colunas 1 e 2, uma base é dada pelos vetores-coluna dessas posições, ou seja,
(1,1)\quad\text{e}\quad(2,3).
Como há 2 pivôs,
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=2.

Resposta

(a) \dim(\operatorname{Ker}(T))=2, base \{(1,-2,1,0),\,(-7,3,0,1)\}.
(b) \dim(\operatorname{Im}(T))=2, base \{(1,1),\,(2,3)\}.

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