onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sinais.
escolhendo (p_{1},m_{1}) de forma interna. Sabemos que \partial_{p_{1}}f_{1}<0, \partial^{2}_{p_{1}p_{1}}f_{1}<0, \partial_{m_{1}}f_{1}>0; e \partial_{p_{2}}f_{2}>0, \partial_{m_{2}}f_{2}<0.
Vamos (a) obter as condições de primeira ordem e deduzir o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}, (b) dar as condições de segunda ordem e ver o sinal de \partial^{2}_{m_{1}m_{1}}f_{1}, e (c) usar as condições de primeira ordem para estudar as variações comparativas \mathrm{d}p_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2} e \mathrm{d}m_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2}.
Condições suficientes de segunda ordem (SOC): o Hessiano de \pi em (p_{1},m_{1}) deve ser definido negativo. Denotando \pi_{pp}=\partial^{2}\pi/\partial p_{1}^{2}, \pi_{pm}=\partial^{2}\pi/(\partial p_{1}\partial m_{1}), \pi_{mm}=\partial^{2}\pi/\partial m_{1}^{2},
exigimos
Comparativo de estático: definimos as FOC F_{1}(p_{1},m_{1},m_{2})=\pi_{p_{1}}=0 e F_{2}(p_{1},m_{1},m_{2})=\pi_{m_{1}}=0. Diferenciando em relação a m_{2} e escrevendo em forma matricial, obtemos
Como \pi_{mm}<0 e \partial_{m_{2}}F_{1}<0, segue \mathrm{d}p_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2}<0. Isto é, um aumento infinitesimal em m_{2} leva à queda do preço ótimo p_{1}^{*}.
O sinal de \mathrm{d}m_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2} depende do sinal de \pi_{pm}=\partial^{2}\pi/(\partial p_{1}\partial m_{1}). Como \pi_{pm}=\partial_{m_{1}}f_{1} + (p_{1}-c)\,\partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}
e não temos sinal a priori para \partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}, o efeito sobre m_{1}^{*} é em geral indefinido sem informação extra sobre \partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}.
Dessas segue p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*},p_{2},m_{2})>0.
(b) Para máximo local estrito o Hessiano deve ser negativo definido, o que exige além de \pi_{pp}<0 e \det>0 que