( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m_{1}, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sinais.

Passo 1

O enunciado trata da firma 1 que maximiza o lucro
\pi(p_{1},m_{1};p_{2},m_{2})=(p_{1}-c)\bigl[f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2})\bigr]-m_{1}
escolhendo (p_{1},m_{1}) de forma interna. Sabemos que
\partial_{p_{1}}f_{1}<0, \partial^{2}_{p_{1}p_{1}}f_{1}<0, \partial_{m_{1}}f_{1}>0; e \partial_{p_{2}}f_{2}>0, \partial_{m_{2}}f_{2}<0.
Vamos (a) obter as condições de primeira ordem e deduzir o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}, (b) dar as condições de segunda ordem e ver o sinal de \partial^{2}_{m_{1}m_{1}}f_{1}, e (c) usar as condições de primeira ordem para estudar as variações comparativas \mathrm{d}p_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2} e \mathrm{d}m_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2}.

Passo 2

Condições de primeira ordem (FOC):
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}} = \underbrace{f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2})}_{q_{1}} + (p_{1}-c)\,\partial_{p_{1}}f_{1}(p_{1},m_{1}) =0,
\frac{\partial \pi}{\partial m_{1}} = (p_{1}-c)\,\partial_{m_{1}}f_{1}(p_{1},m_{1}) - 1 =0.
Da primeira equação segue
(p_{1}-c)\,\partial_{p_{1}}f_{1} = -q_{1}.
Como \partial_{p_{1}}f_{1}<0 e o lado direito -q_{1} só pode ser negativo se q_{1}>0, concluímos
p_{1}^{*}-c > 0 \quad\text{e}\quad q_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*},p_{2},m_{2})>0.

Passo 3

Condições suficientes de segunda ordem (SOC): o Hessiano de \pi em (p_{1},m_{1}) deve ser definido negativo. Denotando
\pi_{pp}=\partial^{2}\pi/\partial p_{1}^{2},
\pi_{pm}=\partial^{2}\pi/(\partial p_{1}\partial m_{1}),
\pi_{mm}=\partial^{2}\pi/\partial m_{1}^{2},
exigimos
\pi_{pp}<0, \quad \det\begin{pmatrix}\pi_{pp}&\pi_{pm}\\pi_{pm}&\pi_{mm}\end{pmatrix}>0.
Cálculo rápido:
\pi_{pp} =2\,\partial_{p_{1}}f_{1} + (p_{1}-c)\,\partial^{2}_{p_{1}p_{1}}f_{1},
que é negativo pois \partial_{p_{1}}f_{1}<0 e \partial^{2}_{p_{1}p_{1}}f_{1}<0.
\pi_{mm} =(p_{1}-c)\,\partial^{2}_{m_{1}m_{1}}f_{1}.
Para \pi_{mm}<0 (parte da condição de negativo definido) e visto que p_{1}-c>0, é necessário
\partial^{2}_{m_{1}m_{1}}f_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*})<0.

Passo 4

Comparativo de estático: definimos as FOC F_{1}(p_{1},m_{1},m_{2})=\pi_{p_{1}}=0 e F_{2}(p_{1},m_{1},m_{2})=\pi_{m_{1}}=0. Diferenciando em relação a m_{2} e escrevendo em forma matricial, obtemos
\begin{pmatrix} \pi_{pp} & \pi_{pm}\\\ \pi_{pm} & \pi_{mm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d}p_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}}\\[6pt] \frac{\mathrm{d}m_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \partial_{m_{2}}F_{1}\\[3pt] \partial_{m_{2}}F_{2} \end{pmatrix} =0.
Como f_{1} não depende de m_{2},
\partial_{m_{2}}F_{2}=0, \quad \partial_{m_{2}}F_{1} =(p_{1}-c)\,\partial_{m_{2}}f_{2}(p_{2},m_{2}) <0
(pois \partial_{m_{2}}f_{2}<0 e p_{1}-c>0). Invertendo o Hessiano (definido negativo) e usando notação D=\det H>0, achamos
\frac{\mathrm{d}p_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}} =-\frac{1}{D}\Bigl(\pi_{mm}\,\partial_{m_{2}}F_{1}-\pi_{pm}\cdot 0\Bigr) =-\frac{\pi_{mm}\,\partial_{m_{2}}F_{1}}{D},
\frac{\mathrm{d}m_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}} =-\frac{1}{D}\Bigl(-\pi_{pm}\,\partial_{m_{2}}F_{1}+\pi_{pp}\cdot 0\Bigr) =\frac{\pi_{pm}\,\partial_{m_{2}}F_{1}}{D}.]

Passo 5

Análise dos sinais:
  • Como \pi_{mm}<0 e \partial_{m_{2}}F_{1}<0, segue \mathrm{d}p_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2}<0. Isto é, um aumento infinitesimal em m_{2} leva à queda do preço ótimo p_{1}^{*}.
  • O sinal de \mathrm{d}m_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2} depende do sinal de \pi_{pm}=\partial^{2}\pi/(\partial p_{1}\partial m_{1}). Como
    \pi_{pm}=\partial_{m_{1}}f_{1} + (p_{1}-c)\,\partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}
    e não temos sinal a priori para \partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}, o efeito sobre m_{1}^{*} é em geral indefinido sem informação extra sobre \partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}.

Resposta

(a) As condições de primeira ordem são
f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2}) + (p_{1}-c)\,\partial_{p_{1}}f_{1}(p_{1},m_{1})=0,
(p_{1}-c)\,\partial_{m_{1}}f_{1}(p_{1},m_{1}) - 1=0.
Dessas segue p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*},p_{2},m_{2})>0.
(b) Para máximo local estrito o Hessiano deve ser negativo definido, o que exige além de \pi_{pp}<0 e \det>0 que
\partial^{2}_{m_{1}m_{1}}f_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*})<0.
(c) Usando diferenciação implícita encontra-se
\frac{\mathrm{d}p_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}}<0,
\frac{\mathrm{d}m_{1}^{*}}{\mathrm{d}m_{2}} =\frac{\pi_{pm}\,\partial_{m_{2}}f_{2}}{\det H},
onde o sinal de \mathrm{d}m_{1}^{*}/\mathrm{d}m_{2} é indeterminado sem mais informação sobre \partial^{2}_{p_{1}m_{1}}f_{1}.

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