Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} definido por:
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z).
a) Determinar o vetor \vec{u} \in R^{3} tal que T(\vec{u})=(-1,8,-11);
b) Determinar o vetor \vec{v} \in R^{3} tal que T(\vec{v})=\vec{v}

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x + 2y + 2z,\;x + 2y - z,\;-x + y + 4z\,).
Pede em (a) um vetor \vec u tal que T(\vec u)=(-1,8,-11) e em (b) um vetor \vec v tal que T(\vec v)=\vec v. Vamos usar sistemas lineares e, em (b), o fato de que T(\vec v)=\vec v equivale a (T-I)\vec v=\vec 0.

Passo 2

Para colocar em forma matricial, note que
T(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Chamando essa matriz de A, o item (a) é resolver
A\,\vec u = \begin{pmatrix}-1\\\ 8\\\ -11\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevendo o sistema
\begin{cases} x + 2y + 2z = -1,\\\ x + 2y - z = 8,\\\\ -\,x + y + 4z = -11, \end{cases}
subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar x:
(x+2y - z) - (x+2y+2z) = 8 - (-1)\;\Longrightarrow\;-3z = 9 \;\Longrightarrow\;z = -3.
Substituindo z=-3 na primeira e na terceira equações:
x + 2y - 6 = -1\;\Longrightarrow\;x+2y=5,
-\,x + y -12 = -11\;\Longrightarrow\;-x + y =1.
Somando as duas: (x- x) +3y=6 y=2. Logo x+4=5 e x=1.

Passo 4

Concluímos que
\vec u = (x,y,z) = (1,\,2,\,-3).

Passo 5

Para o item (b) resolvemos (A-I)\vec v=\vec 0\). A matriz \(A-I\) é \[A-I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix},
e o sistema homogêneo correspondente é
\begin{cases} 2y + 2z = 0,\\\ x + y - z = 0,\\\\ -\,x + y + 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem (y = -,z]. Substituindo na segunda:
x - z - z =0\;\Longrightarrow\;x=2z.
A terceira fica redundante, confirmando a liberdade de parâmetro.

Passo 6

Portanto o espaço próprio associado a \lambda=1 é gerado por
\vec v = z\,(2,\,-1,\,1),
ou seja, um vetor não-nulo próprio pode ser escolhido como (2,-1,1).

Resposta

a) \vec u = (1,2,-3).
b) Um vetor próprio para \lambda=1 é \vec v = (2,-1,1) (até múltiplo escalar).

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