Seja [T]=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ 8 & -1\end{array}\right] uma matriz associada a uma transformação linear. Encontre os autovalores de T e os autovetores de T associados a cada autovalor encontrado.

Passo 1

O enunciado dá a matriz da transformação linear
[T] = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[6pt] 8 & -1\end{pmatrix}
e pede os autovalores \lambda e, para cada \lambda, os vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v. Vamos usar o polinômio característico \det([T]-\lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver ([T]-\lambda I)v=0 para cada autovalor.]

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico:
\det\bigl([T]-\lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 \\[4pt] 8 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-1-\lambda) - 0\cdot 8.
Portanto,
(3-\lambda)(-1-\lambda)=0
implica os autovalores
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -1.]

Passo 3

Para \lambda_1=3 resolvemos
\bigl([T]-3I\bigr)v = \begin{pmatrix}3-3 & 0 \\[4pt] 8 & -1-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 8 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem
8x_1 - 4x_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 2x_1.
Escolhendo x_1=1, obtemos um autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}
correspondente a \lambda_1=3.]

Passo 4

Para \lambda_2=-1 resolvemos
\bigl([T]+I\bigr)v = \begin{pmatrix}3+1 & 0 \\[4pt] 8 & -1+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 8 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha segue
4x_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 0,
e x_2 é livre. Escolhendo x_2=1, obtemos um autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}
para \lambda_2=-1.]

Resposta

Os autovalores e autovetores são:
\lambda_1 = 3, com autovetor v_1 = (1,2)^T;
\lambda_2 = -1, com autovetor v_2 = (0,1)^T.

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