Questão 7: Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto F_{1}(0,-4) e a medida do eixo menor é 6. Determine sua equação na forma reduzida.

Passo 1

O enunciado diz que a elipse tem centro na origem, um foco em (0,-4) e a medida do eixo menor é 6. O conteúdo aqui é a forma reduzida de uma elipse centrada na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados. Vamos precisar identificar os valores de b (semieixo menor), c (distância do centro ao foco) e então a (semieixo maior) usando a relação
c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Como a medida do eixo menor é 6, temos
2b = 6
logo
b = 3.

Passo 3

O foco dado é (0,-4). Isso mostra que os focos estão sobre o eixo y em (0,\pm c), com
c = 4.

Passo 4

Usando a relação entre a, b e c,
c^2 = a^2 - b^2
temos
a^2 = c^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25,
portanto a = 5.

Passo 5

Para uma elipse com eixo maior no sentido vertical, a forma reduzida é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Substituindo b^2 = 9 e a^2 = 25, obtemos
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.

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