a) Mostre que se u e v são vetores de um espaço euclidiano tais que
então u e v são ortogonais.
b) Mostre que os vetores
e
formam uma base ortogonal de
. Encontre uma base ortonormal a partir deles.
b) Mostre que os vetores
Passo 1
O enunciado quer duas coisas. Na parte (a), temos vetores
e
num espaço euclidiano e a condição
Precisamos usar propriedades do produto interno (ou norma) para mostrar que
e
são ortogonais, isto é,
.
Na parte (b), damos três vetores em :
Na parte (b), damos três vetores em
e precisamos verificar que eles são ortogonais e formam base (logo independentes e geram
). Depois, normalizar cada um para obter uma base ortonormal.
Passo 2
Para a parte (a), escrevemos as normas ao quadrado usando o produto interno. Lembrando que
Assim,
Passo 3
Igualando as normas (dado que
), temos
portanto
Cancelando
e
de ambos os lados sobra
Logo
e
são ortogonais.
Passo 4
Na parte (b), calculamos os produtos internos dos três vetores dados. Para
e
,
Para
e
,
Para
e
,
Os três pares têm produto interno zero, logo são mutuamente ortogonais. Como nenhum é o vetor zero, eles são linearmente independentes em
e formam uma base ortogonal.
Passo 5
Para obter a base ortonormal, basta dividir cada
pela norma
. Calculamos:
Então a base ortonormal é
Resposta
(a) Usando
e igualando, obtemos
, logo
.
(b) Os produtos internos entre ,
e
são todos zero, então formam base ortogonal de
. Dividindo cada vetor pela sua norma, obtemos a base ortonormal
(b) Os produtos internos entre