a) Mostre que se u e v são vetores de um espaço euclidiano tais que \|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|=\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\| então u e v são ortogonais.
b) Mostre que os vetores (1,1,2),(-2,0,1) e (1,-5,2) formam uma base ortogonal de \mathrm{R}^{3}. Encontre uma base ortonormal a partir deles.

Passo 1

O enunciado quer duas coisas. Na parte (a), temos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} num espaço euclidiano e a condição
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|.
Precisamos usar propriedades do produto interno (ou norma) para mostrar que \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais, isto é, \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0.
Na parte (b), damos três vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{e}_1=(1,1,2),\quad \mathbf{e}_2=(-2,0,1),\quad \mathbf{e}_3=(1,-5,2),
e precisamos verificar que eles são ortogonais e formam base (logo independentes e geram \mathbb{R}^3). Depois, normalizar cada um para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos as normas ao quadrado usando o produto interno. Lembrando que
\|\mathbf{x}\pm\mathbf{y}\|^2 = \langle\mathbf{x}\pm\mathbf{y},\mathbf{x}\pm\mathbf{y}\rangle = \|\mathbf{x}\|^2 \pm 2\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle + \|\mathbf{y}\|^2.
Assim,
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2,
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2.

Passo 3

Igualando as normas (dado que \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|), temos
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2,
portanto
\|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - 2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2.
Cancelando \|\mathbf{u}\|^2 e \|\mathbf{v}\|^2 de ambos os lados sobra
2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = -2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle \quad\Longrightarrow\quad 4\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0 \quad\Longrightarrow\quad \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0.
Logo \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais.

Passo 4

Na parte (b), calculamos os produtos internos dos três vetores dados. Para \mathbf{e}_1=(1,1,2) e \mathbf{e}_2=(-2,0,1),
\langle\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\rangle =1\cdot(-2) + 1\cdot0 + 2\cdot1 =-2 + 0 + 2 = 0.
Para \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_3=(1,-5,2),
\langle\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3\rangle =1\cdot1 + 1\cdot(-5) + 2\cdot2 =1 -5 +4 = 0.
Para \mathbf{e}_2 e \mathbf{e}_3,
\langle\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\rangle =(-2)\cdot1 + 0\cdot(-5) + 1\cdot2 =-2 + 0 +2 = 0.
Os três pares têm produto interno zero, logo são mutuamente ortogonais. Como nenhum é o vetor zero, eles são linearmente independentes em \mathbb{R}^3 e formam uma base ortogonal.

Passo 5

Para obter a base ortonormal, basta dividir cada \mathbf{e}_i pela norma \|\mathbf{e}_i\|. Calculamos:
\|\mathbf{e}_1\| = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6},\quad \|\mathbf{e}_2\| = \sqrt{(-2)^2+0^2+1^2} = \sqrt{5},\quad \|\mathbf{e}_3\| = \sqrt{1^2+(-5)^2+2^2} = \sqrt{30}.
Então a base ortonormal é
\frac{\mathbf{e}_1}{\|\mathbf{e}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2),\quad \frac{\mathbf{e}_2}{\|\mathbf{e}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1),\quad \frac{\mathbf{e}_3}{\|\mathbf{e}_3\|} = \frac{1}{\sqrt{30}}(1,-5,2).

Resposta

(a) Usando \|\mathbf{u}\pm\mathbf{v}\|^2 e igualando, obtemos \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0, logo \mathbf{u}\perp\mathbf{v}.
(b) Os produtos internos entre (1,1,2), (-2,0,1) e (1,-5,2) são todos zero, então formam base ortogonal de \mathbb{R}^3. Dividindo cada vetor pela sua norma, obtemos a base ortonormal
\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2),\quad \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1),\quad \frac{1}{\sqrt{30}}(1,-5,2).

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