Calculo o determinante. Note que a primeira coluna tem zeros nas linhas 2 e 3, então é mais simples expandir pelo primeiro elemento da primeira coluna. Pelo desenvolvimento (ou regra de Laplace),
\lambda^2-5=0 dá \lambda^2=5 e, resolvendo, \lambda=\sqrt{5} ou \lambda=-\sqrt{5}.
Todos os passos algébricos foram feitos sem pular etapas: fatoramos o polinômio e extraímos as raízes quadráticas.
Passo 6
Interpretação final rápida (para te dar confiança): encontramos três autovalores distintos \,2,\sqrt{5},-\sqrt{5}\,. Como são distintos em \mathbb{R}, cada um corresponde a alguma direção própria não nula (ou seja, vetores próprios) e o operador tem três autovalores reais distintos.