Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Calcule os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
O que se pede é: calcular os autovalores (valores próprios) de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.
  • A regra de T em coordenadas é exatamente a dada acima.
  • Não há mais dados (como uma base diferente), então usaremos a base canônica padrão de \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é um autovalor? Vou lembrar rápido: um escalar \lambda é autovalor de T se existe um vetor não nulo v tal que
T(v)=\lambda v.
Em termos de matrizes, se A é a matriz de T na base canônica, isso equivale a resolver (A-\lambda I)v=0. Para existir solução não-trivial devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
Isso gera o polinômio característico cuja raiz são os autovalores.
Primeiro obtenho a matriz A de T na base canônica. Basta aplicar T aos vetores da base:
e_1=(1,0,0)\mapsto T(e_1)=(2,0,0),
e_2=(0,1,0)\mapsto T(e_2)=(1,1,2),
e_3=(0,0,1)\mapsto T(e_3)=(0,2,-1).
Portanto a matriz A (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrevo a condição característica \det(A-\lambda I)=0. A matriz A-\lambda I é
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante. Note que a primeira coluna tem zeros nas linhas 2 e 3, então é mais simples expandir pelo primeiro elemento da primeira coluna. Pelo desenvolvimento (ou regra de Laplace),
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2\times2. Para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos \det=ad-bc. Aqui,
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-2\cdot 2.
Faço a multiplicação passo a passo:
(1-\lambda)(-1-\lambda)=-1 -\lambda +\lambda +\lambda^2=\lambda^2-1.
Subtraindo 4 (porque 2\cdot2=4) obtemos
\lambda^2-1-4=\lambda^2-5.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\,(\lambda^2-5).]

Passo 5

Agora resolvo \det(A-\lambda I)=0, isto é
(2-\lambda)(\lambda^2-5)=0.
As soluções são:
  • 2-\lambda=0 \lambda=2.
  • \lambda^2-5=0 \lambda^2=5 e, resolvendo, \lambda=\sqrt{5} ou \lambda=-\sqrt{5}.
Todos os passos algébricos foram feitos sem pular etapas: fatoramos o polinômio e extraímos as raízes quadráticas.

Passo 6

Interpretação final rápida (para te dar confiança): encontramos três autovalores distintos \,2,\sqrt{5},-\sqrt{5}\,. Como são distintos em \mathbb{R}, cada um corresponde a alguma direção própria não nula (ou seja, vetores próprios) e o operador tem três autovalores reais distintos.

Resposta

2
\sqrt{5}
-\sqrt{5}

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