Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(4 x-2 y,-x+y, y+2 z)
Encontre os autovalores de T e bases para seus autoespaços associados. Usando só essas informações, é possível concluir algo sobre a diagonalização de T ? Por quê?
Passo 1
O enunciado define o operador linear T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 por
T(x,y,z) = (4x - 2y,\,-x + y,\;y + 2z).
O que precisamos é: (i) encontrar os autovalores de T, (ii) para cada autovalor, achar uma base do correspondente autoespaço, e (iii) concluir sobre a diagonalização de T.
Como aparecem três autovalores distintos, cada um com autoespaço de dimensão 1, temos um total de 3 vetores próprios linearmente independentes. Logo T é diagonalizável sobre \mathbb R.
Resposta
Autovalores e bases dos autoespaços:
(a) \lambda_1 = 2, base de E_{2}: \{(0,0,1)\}.
(b) \lambda_2 = \tfrac{5+\sqrt{17}}{2}, base de E_{\lambda_2}: \{(2\lambda_2,\,2-\lambda_2,\,-1)\}.
(c) \lambda_3 = \tfrac{5-\sqrt{17}}{2}, base de E_{\lambda_3}: \{(2\lambda_3,\,2-\lambda_3,\,-1)\}.
Conclusão sobre diagonalização: como há 3 autovalores distintos em \mathbb R, cada um com multiplicidade geométrica 1, soma total de dimensões dos autoespaços é 3. Portanto, T é diagonalizável.