Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(4 x-2 y,-x+y, y+2 z)
Encontre os autovalores de T e bases para seus autoespaços associados. Usando só essas informações, é possível concluir algo sobre a diagonalização de T ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 por
T(x,y,z) = (4x - 2y,\,-x + y,\;y + 2z).
O que precisamos é: (i) encontrar os autovalores de T, (ii) para cada autovalor, achar uma base do correspondente autoespaço, e (iii) concluir sobre a diagonalização de T.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica, sua matriz é
A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico vem de \det(A - \lambda I). Note que
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 & 0\\\\ -1 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix},
e, expandindo pela terceira coluna,
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & -2\\\ -1 &1-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando
\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & -2\\\ -1 &1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-2 =\lambda^2-5\lambda+2,
logo
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)\,(\lambda^2 -5\lambda+2).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_{2,3} = \frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
São três autovalores distintos e reais.

Passo 4

Para \lambda_1=2, resolvemos (A-2I)v=0. A matriz
A-2I =\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
impõe as equações
2x-2y=0,\quad -x-y=0,\quad y=0.
Dessas vem x=y=0 e z livre. Assim
E_{2} = \ker(A-2I) = \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb R\}
e uma base é \{(0,0,1)\}.

Passo 5

Para \lambda raiz de \lambda^2-5\lambda+2=0, note que (4-\lambda)x -2y=0 e -x+(1-\lambda)y=0 levam a y livre,
x=(1-\lambda)y, \quad y\text{ livre},
e a terceira linha y+(2-\lambda)z=0
z = -\frac{y}{2-\lambda}.
Escolhendo y=2-\lambda anula o denominador e resulta em
v(\lambda) = \bigl(2\lambda,\;2-\lambda,\;-1\bigr).
Portanto, para \lambda_2=\tfrac{5+\sqrt{17}}{2} e \lambda_3=\tfrac{5-\sqrt{17}}{2}, temos
E_{\lambda_2} = \Span\{(2\lambda_2,\,2-\lambda_2,\,-1)\}, \quad E_{\lambda_3} = \Span\{(2\lambda_3,\,2-\lambda_3,\,-1)\}.

Passo 6

Como aparecem três autovalores distintos, cada um com autoespaço de dimensão 1, temos um total de 3 vetores próprios linearmente independentes. Logo T é diagonalizável sobre \mathbb R.

Resposta

Autovalores e bases dos autoespaços:
(a) \lambda_1 = 2, base de E_{2}: \{(0,0,1)\}.
(b) \lambda_2 = \tfrac{5+\sqrt{17}}{2}, base de E_{\lambda_2}: \{(2\lambda_2,\,2-\lambda_2,\,-1)\}.
(c) \lambda_3 = \tfrac{5-\sqrt{17}}{2}, base de E_{\lambda_3}: \{(2\lambda_3,\,2-\lambda_3,\,-1)\}.
Conclusão sobre diagonalização: como há 3 autovalores distintos em \mathbb R, cada um com multiplicidade geométrica 1, soma total de dimensões dos autoespaços é 3. Portanto, T é diagonalizável.

Exercícios relacionados